Как указано в «Справочнике по пунктуации», в сочетании что (,) если обычно ставится запятая, но на практике встречаются примеры оформления этого сочетания без запятой. Поскольку рассматриваемое сочетание представляет собой частицу, к тому же близкую по смыслу частице а ну как, отсутствие запятой в сочетании нельзя считать ошибкой. Постановка запятой в этом сочетании обусловлена, вероятно, тем, что местоимение что содержит в себе «следы» грамматической основы, сравним: Что будет, если?...; Что было бы, если?....

Да, это сравнение, и запятые нужны. См. подобные примеры (в которых сравнительный оборот относится к полному прилагательному) в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя: Перстами лёгкими, как сон, моих зениц коснулся он (П.); На самом дне, сухом и жёлтом, как медь, лежали огромные плиты глинистого камня (Т.); Старый мост сломали и на его месте сделали цокольную, прямую, как палка, набережную (Л.Т.); …Пили бабушкины наливки — жёлтую, как золото, тёмную, как дёготь, и зелёную (М.Г.)

Специальных правил пунктуационного оформления сопоставительных сложносочиненных предложений, во второй части которых глагольное сказуемое заменяется словом нет (скажем, в данном случае нет = не выдыхаемся), в справочниках не приводится. Тире представляется уместным, поскольку оно 1) подчёркивает параллелизм строения двух частей, 2) сигнализирует о своеобразной неполноте второй части, в которой сказуемое формально есть, но выражено словом-заместителем. Параллелизм строения предложений часто коррелирует с их неполнотой и способствует постановке тире в них, как показывают примеры в параграфе 6 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. 

Ограничений на образование формы множественного числа у слова пляс нет. Эта форма не является частотной, но примеры ее употребления найти можно, напр.: Между четвертым и пятым актом ― 5―7 минут длится музыка, не похожая ни на что и похожая на все что угодно: помесь грузинских лезгинок, кафешантанных танцев начала века, дурацкого вступления к партии Варлаама в опере Мусоргского, канканов и кэк-уоков, российских балаганных плясов и самых бравурных мотивов из мадьярских. В. Ерофеев. Гиева ночь, или Шаги командора (1985).

В данном случае сравнительный оборот всё-таки имеет значение образа действия, сравним примеры, приведенные в параграфе 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Мы наступали. Сербы сражались как львы (Кат.); Тропинка извивалась как змея. В этих примерах, в отличие от Вашего, сравнительный оборот можно заменить формой творительного падежа существительного или наречием (сражались по-львиному, извивалась змеей), однако выполняемая им функция та же самая. В принципе, возможно даже окказиональное наречие «по-носительски».

Основной принцип выбора между прямой или косвенной речью состоит в том, что́ важно для автора — передать чье-то высказывание дословно, со всеми лексическими особенностями формулировок, или изложить только содержание этого высказывания, в отвлечении от формы. Слово типа вводит особую разновидность прямой речи, которую можно обозначтить как «наглядно-примерная». Оформление такой речи специально не оговорено в справочниках по пунктуации, однако это всё-таки прямая речь, поэтому рекомендуем оформлять ее так, как Вы оформили приведенные в вопросе примеры.

Вы привели разные по сути примеры. В предложении Мы писали сочинение на тему «Как я провёл лето» слово тема обозначает и заголовок сочинения, поэтому формулировка темы заключается в кавычки (обратите внимание, что двоеточие здесь не нужно, «Как я провёл лето» — это приложение к существительному тема). В предложении Автор ставит проблему: какой опыт приобретает молодой человек, служа в армии? формулировка проблемы не требует заключения в кавычки, если это не дословная цитата из анализируемого текста.

Формально грамматический центр — нет (отрицательная форма настоящего времени глагола быть). Предложение — безличное. Этим можно и ограничиться, если речь идет об освоении школьной программы.

Если же выйти за ее рамки, то придется учесть, что перед нами отрицательно-безличная модификация утвердительного предложения: его мы и получим «вновь», если изымем отрицание (Есть сомнения в опасности этого человека). При этом, как видим, предложение оказывается двусоставным, сомнения — подлежащее. В отрицательно-безличной модификации оно принимает форму родительного падежа и превращается как бы в дополнение (но именно как бы!), однако без него предложение окажется бессмысленным, потому что, если мы его опустим, придется опустить и все остальное, поскольку оно зависит от сущ. сомнения. Останется только Нет, которое явным образом не эквивалентно по смыслу тому, с чего мы начали.

Вывод: если формально-школьный ответ — нет, то неформальный ответ — нет сомнений, в котором нет — главный член безличного предложения, а сомнений — «разжалованное» подлежащее. В лингвистике в последние примерно 40-50 лет в подобных случаях говорят также о «неканонических подлежащих».

Назвать подобную конструкцию новообразованием вряд ли возможно, она употреблялась и раньше. Примеры из художественной литературы подтверждают это: «Вы что, оглохли, онемели?» –  «Нет, – сказал Костя, – со мной все в порядке». Л. Карелин, Головокружение (1971). «Да... добрый вечер, – женщина приветливо улыбнулась, но, увидев ребячьи лица, обернувшиеся к ней, испугалась чего-то. – С ним... все в порядке? Где он, Леня?» Г. Полонский, Н. Долинина, Перевод с английского (1972). Но Вы правы в том, что употребительность этой конструкции в последнее время возросла. Однако ошибочной она не является.

Это примеры сочетаний союза и вводного слова в начале предложения. Соответственно, их пунктуационное оформление регламентировано правилами постановки знаков препинания при вводных конструкциях, в частности параграфом 95 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Этими правилами не предусмотрены никакие знаки помимо запятой. Вместе с тем исследования показывают, что при вводном слове, если оно находится в начале предложения, части сложного предложения или обособленного оборота, возможна не только запятая, но и тире или двоеточие, что обусловлено коммуникативными факторами.