Первое (или единственное) слово сокращенного названия пишется с прописной буквы: представлен к званию Героя.
В роли сказуемого предпочтительно раздельное написание.
В родительном падеже – переподготовки (программа чего? профессиональной переподготовки); в дательном падеже – переподготовке (программа по чему? по профессиональной переподготовке). Обычное употребление – с родительным падежом.
Запятую нужно поставить.
Перед союзом И в этом предложении не ставится запятая.
Это предложение можно считать сложным, состоящим из двух инфинитивных предложений, однако и в этом случае запятая перед либо не нужна, так как оба инфинитивных предложения вопросительные (см. пункт 5 параграфа 112 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Выбрать выделенную запись для подстановки в другой справочник либо закрыть справочник, сохранив изменения?
Правильно: контрольная работа по алгебре.
Выделяется полностью присоединительный оборот со словом например: В его лаборатории имеются образцы змеиного яда, например кобры, но я не помню...
Как балерина — сравнение (как можно заменить союзом словно и нельзя заменить предлогом в качестве), запятая нужна.