Запятая не нужна.
Можно склонять и не склонять.
О склонении аббревиатур читайте в "Письмовнике".
Правильно: сыграет самого себя.
На месте "беглых" гласных, действительно, располагался Ъ или Ь. Но не "болгарский".
Слово подлинную здесь вряд ли уместно. Можно сказать: искреннюю благодарность и признательность.
Позиция после сочинительного союза, находящегося в начале предложения, не препятствует расчленению сложного союза для того чтобы, однако если придаточная часть предшествует главной (а здесь именно такой случай), запятая чаще ставится после всей придаточной части, то есть предпочтителен вариант: Но для того чтобы себя улучшать, вам нужно... См. параграф 34.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя и приведенный там пример, аналогичный Вашему (с союзом но в начале предложения и следующим за ним сложным союзом прежде чем): Но прежде чем этот кусок успевал упасть на землю, рабочий с необыкновенной ловкостью обматывал его цепью в руку толщиной (Купр.).
