В устной речи это признак так называемого старомосковского произношения (старшей орфоэпической нормы).
Запятая нужна.
Предпочтительно: Ежегодно его посещают более 25 тысяч детей. На базе центра функционирует 4 лагеря.
Существительное Интернет склоняется. Правильно: доступная в Интернете.
Кавычки не нужны.
Верно: натренированы.
Слово безоплатный в русском языке вовсе не ново, см. ответ на вопрос 322558.
Суффикс -ок- в слове значок (← знак) в значениях, зафиксированных современными толковыми словарями (см., например «Толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова https://gramota.ru/poisk?query=значок&mode=slovari&dicts[]=42), не имеет уменьшительно-ласкательного значения. Слова с этим суффиксом называют предметы, похожие по какому-либо признаку на то, что названо производящим словом. Ср.: глаз → глазок (отверстие для наблюдения), язык → язычок (у замка или у ботинка), нос → носок (передняя часть ступни или обуви) и т. п.
Уменьшительно-ласкательное значение имеет омонимичный суффикс, ср.: городок (← город), басок (← бас), утюжок (← утюг) и т. п.
Вы написали верно. Запятая перед чем не нужна.