Правильно: Основываясь на имеющейся переписке с вами.
Заглавная и прописная буква — это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчно́й. Правильно как раз со строчной: крыловские басни.
Для ответа на этот вопрос необходим более широкий контекст.
Корректно дефисное написание: проектировочно-прогностический.
Корректно: авторизованный пользователь.
Правильно с прописной: Человек с большой буквы.
В значении "погодные аномалии, связанные с приходом неожиданного тепла в феврале" это выражение стоит заключать в кавычки.
Корректно со строчной: оборонно-промышленный комплекс.
Правильно: прийти из школы.
Нормативными словарями современного русского языка это слово не зафиксировано, так что возможны оба варианта его написания, однако орфографическим тенденциям отвечает написание с одним согласным л.
