В первых трех выражениях кавычки не нужны, хотя глагол завести заключить в кавычки можно, чтобы указать на стилистическую чуждость его контексту (глагол употреблен в разговорном значении).
Последний случай несколько сложнее. Если по контексту читателю будет понятно, в каком значении употреблено сочетание золотые перья, то кавычки не нужны. Если возникает двусмысленность, неясность, то лучше дополнить фразу, например, так: в редакции работали лауреаты конкурса «Золотое перо России».
1. Предложение простое, подлежащее -- я, сказуемое -- могу позвонить (составное глагольное, выраженное глаголом-связкой могу и инфинитивом позвонить).
2. Предложение простое, сказуемое -- давай смотреть (простое глагольное сказуемое, выражено глаголом в форме повелительного наклонения).
3. Предложение сложноподчинённое, вторая часть (надо ли это делать) -- придаточное дополнительное (изъяснительное), присоединяется частицой ли и раскрывает смысл главного предложения. Отделяется от главного предложения запятой.
Для обособления обстоятельственного оборота с предложным сочетанием в рамках нет оснований. Заметим, что само это сочетание в приведенном предложении употреблено неуместно, так как обозначает «ограничиваясь (только этим), охватывая (только это)» и сочетается с отвлечёнными существительными, например: Действовать в рамках закона; Рассуждать в рамках сегодняшних представлений. С названием страны нужно использовать предлог в: в современной России. Кроме того, при редактировании предложения желательно устранить нанизывание трех подряд конструкций с предлогом в.
Форма круч пишется без мягкого знака.
Лучше сказать так: купили двух павлинов-самцов.
Количество выходных дней не превышает двух.
Предложение построено правильно, ошибок нет.
Допустимо и слитное, и раздельное написание.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
