Предпочтительно согласование в женском роде (в соответствии с родом опорного слова).
В единственном числе винительный падеж совпадает с родительным не у всех одушевленных существительных, а только у слов мужского рода второго (по школьной грамматике) склонения: вижу кота – нет кота. У слов женского и среднего рода, у слов мужского рода первого (по школьной грамматике) склонения в единственном числе винительный падеж с родительным не совпадает (несмотря на то что эти существительные одушевленные): вижу кошку – нет кошки, вижу насекомое – нет насекомого, вижу папу – нет папы. А вот во множественном числе винительный падеж совпадает с родительным у одушевленных существительных всех родов и типов склонения (кроме несклоняемых): вижу котов – нет котов, вижу кошек – нет кошек, вижу насекомых – нет насекомых.
Аббревиатура ФСБ женского рода. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010 (электронная версия – на нашем портале).
Правильно: действующего.
Как правило, если обе части составного существительного склоняются, то род всего сложносоставного существительного определяется по роду первого слова.
Суппозиторий – существительное мужского рода, правильно: суппозиториев.
Да, Анапа – существительное женского рода.
Да, это так. Мужская фамилия Бердник склоняется, женская – нет.
Это слово мужского рода, поэтому корректно: из сизаля. См. словарную фиксацию.
Да, именно так. Мужская фамилия Рысь склоняется: Рыся, Рысю и т. д.
