Правильно: гриб дождевик. Пишутся раздельно два нарицательных существительных, соотносящихся как родовое и видовое понятия, если они являются членами научной классификации природных объектов.

Существуют разнообразные классификации. Наиболее популярные есть в учебниках по общему языкознанию. А вот здесь - изыски: http://tlf.narod.ru/school/teoriya_metafory.htm

По школьной классификации это усложненное составное глагольное сказуемое.

По университетской — сложное трехчленное сказуемое (формальная связка был бы + модальный компонент, выраженный кратким прилагательным рад + смысловой инфинитив помочь).

Ответ на этот вопрос - в разных способах классификации. Подсчет лучше всего вести по академическим источникам, например по "Русской грамматике" (под ред. Н. Ю. Шведовой, 1980): rusgram.narod.ru

Словарь М. В. Зарвы «Русское словесное ударение» (см. электронную версию на нашем портале) приводит интересующий Вас пример: роды литературы. В косвенных падежах ударение на окончании: родов, родам и т. д.

В «Орфоэпическом словаре русского языка» Р. И. Аванесова в этом значении тоже роды, родов.

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

В структурно-семантической классификации такие предложения квалифицируются как сложноподчиненные, нерасчлененной структуры, с корреляционной связью, местоименно-соотносительные отождествительного типа, количественной разновидности. В школьной грамматике такие предложения не рассматриваются.

В сочетании белок кератин никакие знаки не нужны. Это два нарицательных существительных, выражающих родовое и видовое понятия в классификации природных объектов (см. пункт 2а параграфа 122 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Род¹, -а и -у, предл. в ро́де и в роду́, мн. -ы́, -о́в (первобытная общественная организация; ряд поколений).
Род², -а, мн. -ы, родо́в (единица классификации; лингв.).
Род³, -а, мн. рода́, -о́в (ро́д во́йск, ору́жия).

См. «Русский орфографический словарь».

Согласно наиболее распространенной сегодня структурно-семантической классификации сложноподчиненных предложений, это сложноподчиненное предложение с придаточным присоединительным. В учебнике Е. И. Литневской на нашем портале отмечается, что это тип СПП, «не нашедший отражения ни в одном из учебных комплексов». Особенность придаточных присоединительных «заключается в том, что они не эквивалентны ни одному из членов предложения, к ним не может быть поставлен вопрос от главной части, что является причиной их выделения в отдельную группу».

Нумерация склонений не имеет принципального значения. Но традиционно в школе к первому склонению относятся слова типа папа, мама, дядя, земля, т. е. слова мужского и женского рода с окончаниями -а, -я; ко второму склонению – слова мужского рода с нулевым окончанием и слова среднего рода с  окончаниями -о, -е, -ё (конь, нож, дерево, чудовище, ружьё). По академической же классификации – все наоборот: слова типа конь, нож, дерево, чудовище, ружьё считают первым склонением, слова папа, мама, дядя, земля – вторым. Вас учили по академической грамматике.