Это довольно объемный вопрос, на который невозможно дать ответ в режиме "Справочного бюро". Рекомендуем обратиться к "Справочнику по правописанию и стилистике" Д. Э. Розенталя и "Письмовнику".
Нормативно: полька. Вариант полячка – устаревший.
Правилен такой разбор: [Дома мой гость сразу начал мне жаловаться], (что (пока он ехал ко мне), то заблудился в лесу и вынужден был заночевать в сторожке лесника). В этом предложении три части.
Все варианты возможны.
Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
