Слово прорешивать не фиксируется словарями, но может быть использовано для проверки правописания гласной в корне. Так что гласная - проверяемая (для того, кто нашел способ проверки) и непроверяемая (для того, кто такой способ не нашел).
Предложение написано верно.
Прилагательное мечетный, образованное от существительного мечеть, фиксируется некоторыми словарями. Поэтому сочетания мечетный двор, мечетная роспись возможны, однако в речевой практике прилагательное мечетный употребляется редко, чаще используются конструкции двор мечети, роспись мечети.
Мужская фамилия Волонтырь склоняется, женская не склоняется.
Это сочетание корректно. Будет ли оно синонимом сочетания решить проблему, зависит от контекста.
Это родственные слова.
Запятая поставлена правильно.
