Правильно: под подпись или под расписку.
Страдать от фашизма, страдать под гнетом фашизма - эти обороты возможны.
Можно написать имя, имя и отчество или инициалы. Решать редактору.
Хотя интересующие Вас глаголы и синонимичны в значениях "оказаться под воздействием, влиянием кого-, чего-л., в зависимости от кого-, чего-л." (подпасть) и "испытать воздействие, влияние каких-л. обстоятельств, обнаружить себя в каком-л. положении (обычно неблагоприятном, неприятном, опасном)" (попасть), возможность их употребления ограничена лексической сочетаемостью. Корректно: попасть под дождь, подпасть под обаяние, подпасть под санкции.
Правильно: в 3-дневный срок. Обратите внимание: не под роспись, а под подпись. См. в «Словаре трудностей»: Подпись, роспись и виза.
Подписи к репродукциям картин и к фотографиям не заключают в кавычки.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
В творительном падеже возможны оба варианта.
