Верно: по реке Сене.
Такая формулировка в заявлении уместна.
Правильно: передать документы с нАрочным (т. е. через курьера). Нарочный - курьер, гонец; тот, кто послан со срочным поручением.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
Правильно: Я надела что попалось по́д руку.
Расстановка знаков препинания зависит от смысла и интонации. Можно написать без знаков препинания. Однако слова на этот раз уже его дома могут выступать в роли присоединительного члена предложения (который содержит добавочное сообщение), тогда перед ними следует поставить тире.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
В настоящее время рекомендуется написание в реке Бие. При этом написание в реке Бии является допустимым.
Верно: Протяни руку, и книга заговорит.
Правильно: на Иртыше, но на реке Иртыш. Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (река женского рода, Иртыш – мужского).
