Как правило, склоняются при отсутствии родового слова.
Первое. Если речь именно о названии населенного пункта, а не о названии острова, то корректно написание обеих частей названия с прописной буквы: Попов Остров.
И второе. Склонять следует обе части названия: порт Попова Острова.
Правильно: полярненский, вьюжненские. В прилагательных, образованных от географических названий на -ный, пишется суффикс -енск-.
Оба варианта правильны. Подробно см. в Письмовнике.
Правильно: в Москве, в городе Москве.
Нет, двоеточие не требуется.
Для обозначения жительниц этих городов лучше использовать описательные конструкции: жительница Чистополя, жительница Каргополя. Нормативных однословных наименований нет.
Правильно: в Москве. В канцелярской речи – в городе Москве.
Верно: Новосибирска. См. в «Письмовнике».
Правильно: в г. Хабаровске. См. «Горячую десятку вопросов».