Оба выражения корректны.
Нет, это словосочетание употребляется только в единственном числе, например: заработная плата сотрудников.
Возможны варианты написания: Рег. палата (графическое сокращение, произносится полностью) и Регпалата (аббревиатура, произносится сокращенно).
Нет, некорректно. Можно перефразировать: мы предпочитаем вместо майонеза использовать растительное масло.
Ударение падает на второй слог: весОв.
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Верно: оплата звонка, плата за звонок.
Верно: ...не отображаются.
Оба варианта будут правильными.