Это неустоявшееся выражение. Более того, это выражение лексически избыточное.
Мы не выполняем домашние задания.
Кавычки нужны.
Взрослый билет – корректное для разговорной речи сочетание. У слова взрослый есть значение не только 'достигший зрелого возраста, полной зрелости', но и (в разговорной речи) 'предназначенный для таких людей; касающийся таких людей': взрослый фильм, взрослый билет; взрослые проблемы.
Что касается сочетания детский билет, то оно абсолютно нормально, т. к. основное значение прилагательного детский – относящийся к детям, предназначенный для детей.
Пример делового письма см. в «Письмовнике».
Можно обратиться к опубликованному эпистолярному наследию классиков русской литературы, если Вас интересует частная переписка прошлого и позапрошлого века.
Склоняется. Правильно: 100-летию Акиры Куросавы.
Название университета склоняется: в Карловом университете.
Это притяжательное прилагательное.
