Правильно: над Петровским.
См. ответ в «Справочнике по фразеологии».
Лучше: контроль за выполнением.
Корректно: контроль за использованием сети.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Корень -рад-. Суффикс -ост(ь)-, конечно, существует (ср.: смелый — смелость, глупый — глупость, веселый — веселость, личный — личность — личностный, хитрый — хитрость — бесхитростный).
Вместо "акции за запрет", возможно, лучше написать "в акции против чего-либо".
