День подачи документов здесь совсем ни при чем.
Правильно: В течение скольких дней нужно ответить на письмо?
Верно: ежиный нос и нос ежа.
Для сочетания государственная итоговая аттестация словарной фиксации в орфографических словарях пока нет. Корректно написание со строчной буквы. Так же – со строчной буквы – пишется это сочетание в официальных документах, регламентирующих проведение ГИА.
Ситуация с написанием сочетания Е(е)диный государственный экзамен сложнее. В орфографическом словаре (Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011) зафиксирован вариант с прописной буквой. Однако в официальных документах (см., например, Федеральный закон РФ «О внесении изменений в Закон Российской Федерации "Об образовании" и Федеральный закон "О высшем и послевузовском профессиональном образовании" в части проведения единого государственного экзамена» от 9 февраля 2007 г. № 17-ФЗ) название этого экзамена пишется со строчной буквы, как и государственная итоговая аттестация.
Количество выходных дней не превышает двух.
Правильно: ЕГЭ. Большинство буквенных аббревиатур передаются прописными буквами.
Корректен второй вариант. Также можно написать: Оператор создает слои (изменяет их состав) в течение 10 дней.
Возможны оба варианта.
