С прописной буквы Сеть пишется, если речь идет об Интернете. Если имеется в виду сотовая сеть, правильно написание строчными: абонент снова в сети.
Следует писать все строчными буквами.
Употребление слова родитель (в значении 'отец') возможно, но только в разговорной речи.
Можно так: дети, матери которых страдают сахарным диабетом...
См. ответ на вопрос № 282388.
Предлог про используется в непринужденной устной речи. Если ситуация предполагает именно такую речь, то первый вариант возможен.
В остальных случаях верно: Дети просмотрели познавательный видеоролик о выхухоле, занесенном в Красную книгу. Также возможен вариант: ...о выхухоли, занесенной в Красную книгу.
Если это однородные члены предложения, то их, как правило, требуется разделять запятой.
Запятая ставится.
