Если имеется в виду первая часть конструкции противопоставления (например, частично положительный, с оговорками ответ на вопрос «Вы готовы?»), то верно: Готовы-то готовы, но...
КОНТРОЛЬ — 1. за чем (при отглагольном существительном). Контроль за исполнением работ и расходованием средств. 2. за чем (при существительном, обозначающем действие или признак). Контроль за работой станка; Контроль за порядком в классе. 3. над кем-чем (при отвлеченном или одушевленном существительном). Контроль над молодыми специалистами; Контроль над финансами; Контроль над производством. 4. чего (в официальной и профессионально-технической речи). Контроль деятельности выборных органов; Контроль температуры в доменной печи; Контроль готовой продукции.
Возможны варианты:
- В связи с этим встает вопрос, чего можно ожидать от новой администрации США, насколько она готова к компромиссам.
- В связи с этим встает вопрос: чего можно ожидать от новой администрации США? Насколько она готова к компромиссам?
Фразеологизм – устойчивое сочетание слов, постоянное по своему составу и значению, воспроизводимое в речи как готовая единица. Иногда выделяют еще фразеологические выражения. Это членимые и разложимые словосочетания и предложения, значение которых складывается из значений составляющих их слов, но у них есть одно сходство с фразеологизмами – постоянство состава, воспроизводимость в речи в качестве готовых единиц. Таковы пословицы, поговорки, «крылатые слова», цитаты из известных художественных произведений.
Таким образом, в Вашем случае можно говорить о поговорке или о фразеологическом выражении.
По-русски говорят: болит голова, кружится голова. (Кстати, утверждают, что собственно мозг болеть не может, т. к. в мозгу нет болевых окончаний.)
А что означает это выражение, как Вы хотите его использовать?
Множественное число сказуемого здесь возможно, оно коррелирует с формой множественного числа слова респондент.
