Правильно: в новом году.
Если приведенное Вами выражение – не часть фразы, а законченная фраза (если после слова море стоит точка), то запятая не нужна, т. к. в этой фразе оборот как море выступает в роли сказуемого.
Оба слова нужно писать с заглавной буквы, если топоним относится не к горе, а любому другому объекту (поселку, деревне, улице и проч.). Ср.: район Соколиная Гора, поселок Николина Гора. Если же названный объект — это именно гора, то слово гора должно записываться со строчной буквы как нарицательное существительное. В этом случае названием будет только слово Синяя. Другие примеры: Поклонная гора, Соборная гора. Однако заметим, что в топонимии России существуют такие названия, которые включают в себя географические термины, указывающие на тип объекта, например в Челябинской области есть гора Доменная Гора. Написание названий природных географических объектов и населенных пунктов России можно установить с помощью Государственного каталога географических названий.
Мужская фамилия склоняется (как имя Плутарх), женская нет.
Это название горной системы, оно пишется с прописной буквы: Кавказские горы.
Корректно раздельное написание: Художник изобразил не бушующее море.
Запятая не нужна.
Глагол можно заключить в кавычки, чтобы показать его стилистическую чужеродность контексту. Если такой необходимости нет, то кавычки не нужны: слово выкать не новое, оно фиксируется в словарях.
