Фамилия склоняется.
Лисий, лисья.
См. ответ на вопрос № 269841.
Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.
Название лучше не склонять. Подробнее см. ответ на вопрос № 271037.
Буквенные аббревиатуры инициального типа в первой стадии своего образования имеют род стержневого слова: ИГИЛ стало (средний род по опорному слову государство); корректно согласование и в женском роде, если родовым словом считать слово организация: ИГИЛ (террористическая организация) запрещена в России.
Но и мужской род совсем исключать нельзя. Ведь чем чаще употребляется аббревиатура, чем более привычной она становится, тем больше вероятность, что она оторвется от соответствующего полного наименования и приобретет свойства обычного слова с иной родовой характеристикой. Так произошло, например, с аббревиатурами МИД, ЗАГС, которые приобрели форму мужского рода, хотя опорные слова принадлежат к другому роду (министерство, запись). Поэтому согласование с ИГИЛ определений и сказуемых в мужском роде тем вероятнее, чем чаще и дольше будет употребляться это сочетание.
Исключительно традицией.
Здесь возможна постановка авторского (интонационного) тире.
Сочетание совет дома корректно писать строчными.
Корректно без запятой.
