Через Е (т. е. с мягким предшествующим звуком Т').

Да, имеется в виду: перед гласными звуками. Буквы е, ё, ю, я обозначают два звука: согласный j и гласные э, о, у, а. Слова его, яблоке начинаются с согласного звука, поэтому перед ними употребляется предлог о.

Следует писать через тире с пробелами: Папуа – Новая Гвинея (если написать через дефис, получится сложное слово Папуа-Новая, т. е. будут нарушены смысловые отношения между единицами). Написание через тире Папуа – Новая Гвинея  зафиксировано нормативными словарями русского языка, в том числе «Русским орфографическим словарем» Российской академии наук.

Правила есть. Притяжательные прилагательные на -ов (-ев) или -ин, обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы. Имена прилагательные, имеющие в своем составе суффикс -ск-, пишутся со строчной буквы. Правильно: Сашину программу.

См. в разделе Речь. Текст в учебнике Е. И. Литневской.

В предложном падеже возможно только: о Есенине, о ёлке, о юности и т. д. В винительном падеже употребляются оба предлога: о и об.

Написание слов галерея и адрес неправильно называть транскрипцией, это полноправные слова русского языка, пусть и иноязычные по происхождению, этимологически связанные с приведенными Вами. В процессе заимствования, осваиваясь в языке, слово может претерпевать изменения в написании, в том числе утрачивать одну из двойных согласных. Ср.: офис (но англ. office), коридор (но нем.  Korridor), тротуар (но фр. trottoir). Написание двойных и одиночных согласных в корнях заимствованных слов определяется в словарном порядке (по орфографическому словарю).

Отметим также, что слово галерея пришло в русский язык из французского, где galerie 'крытый проход; ряд, вереница', т. е. это слово писалось с одной Л уже в языке-источнике.

Слово пиар уже зафиксировано словарями русского языка. Правильно: пиар-кампания.

Слово Бог, написанное с прописной буквы и обозначающее верховное всемогущее существо, управляющее миром (в монотеистических религиях), является именем собственным (т. е. индивидуальным наименованием предмета). Прописная буква – орфографический признак имени собственного.

Сокращения пишутся с пробелом, поскольку пробел – признак нового слова: и т. д., и т. п., т. е. Действующие правила (1956 года) и основанные на них справочники по правописанию не регулируют этот случай.