Корректно: Постепенно, день за днём ты будешь становиться мудрее.
Корректно: платить за аренду помещения, вносить арендную плату за помещение.
Мужская фамилия Куц склоняется, женская – нет. Правильно: замужем за Юрием Куцем.
Название номинации корректно.
Словосочетание оплата за май носит разговорный характер, его значение понятно только с учетом особенностей ситуации. Если есть предположение, что адресатом это выражение может быть расценено как неясное, неоднозначное, то лучше всего использовать полный, корректный вариант типа оплата услуг в мае. Рекомендуем за уточнениями обращаться к толковым словарям русского языка; см. описание слова оплата в словарях, размещенных на нашем портале. В архиве справочной службы есть несколько ответов на вопросы об употреблении слова оплата.
Слово да в этом случае не нуждается в выделении кавычками, тире перед ним также не требуется.
Фамилия должна склоняться, так как она заканчивается на безударную гласную а, следующую за согласной. Подробнее см. в «Письмовнике» (раздел 13.1.11).
