Составители «Русского орфографического словаря» РАН Е. В. Бешенкова и О. Е. Иванова в книге «Теория и практика нормирования русского письма» (М., 2017) пишут о том, что основанием для кодификации написаний офлайн и офшор стал орфографический прецедент: эти слова были закреплены с одним ф по образцу англицизмов с той же начальной частью, напр.: офис, офсет, офсайд. 

В русском языке мужская фамилия Эрен склоняется, а женская нет. Буква е не может произноситься мягко или твердо. Согласная буква, стоящая перед е, может обозначать мягкий или твердый согласный звук. Выбор должен сделать носитель фамилии. 

Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.

Верно: опоздать на поезд. В разговорной речи - опоздать к поезду (т. е. к отправлению поезда).

Возможны варианты: работает во ФГУП (в организации), работает на ФГУП (на предприятии).

Можно без запятых, но в этом случае лучше перефразировать: устройство имеет корпус, по форме близкий к цилиндру.

Такое употребление корректно.

Если значение следствия интонационно не подчеркивается, то вместо тире между частями бессоюзного сложного предложения ставится запятая. Таким образом, в первом и втором примерах можно поставить как тире, так и запятую, выбор за Вами.

Третья фраза составлена таким образом, что лучше разделить ее на два предложения или перестроить вторую часть (добавить сказуемое).

Верно: аудиовизуальная информация (см. словари).

Интересный вопрос. При характеристике наречий обычно используют термин предлог-приставка. Например, Е. В. Бешенкова и О. Е. Иванова пишут об этой части так: «При переходе предложно-падежного сочетания в наречие часто сохраняется раздельное написание предлога в составе наречного сочетания. Однако первоначальный предлог теряет свой статус и приобретает качество переходного явления между предлогом и приставкой и называется предлог-приставка. Некоторые предлоги-приставки в составе наречий и наречных сочетаний всегда пишутся раздельно, к ним относятся без, для, при, про, напр.: без обиняков, без продыху, без просыпа, без разбору, без спросу, без толку, без удержу, без умолку, без устали, без утайки, без малого, без никаких, для блезиру, при смерти, при случае, при деньгах, про запас, про себя («не вслух»). Предлог-приставка до пишется слитно с наречной основой (досюда, дотуда, докуда, доднесь, доколь, дотоль...» (Бешенкова Е. В., Иванова О. Е. Правила русской орфографии с комментариями. Тамбов, 2012. С. 76).

Для описания составных предлогов такой термин неудобен, хотя начальная часть в них имеет те же свойства, что и в описанных выше наречиях. Вот, например, фрагмент из «Русской грамматика» 1980 г.: «К простым предлогам относятся все те предлоги – как первообразные, так и непервообразные, которые состоят из одного слова. К составным предлогам относятся те предлоги (всегда непервообразные), которые состоят из двух или трех слов: формы имени, деепричастия или наречия в сочетании с одним или двумя первообразными предлогами: впредь до, вдали от, в отличие от, согласно с, по отношению к, глядя по» (§ 1656).