1. В прилагательном жареный пишется одна Н, в причастии жаренный – две. Опознать причастие помогают зависимые слова, ср.: жареная картошка – жаренная на сковородке картошка.
2. Правильно: все-таки.
3. Прости и извини – синонимичные широкоупотребительные формы извинения, просьбы о прощении. Форма прости отличается большей употребительностью в сфере обиходно-разговорной речи.
Точки после заголовков не ставятся. Однако в школе существует давняя методическая традиция: для формирования привычки завершать предложение точкой ставить ее и после числа, и после слов Классная работа. Весьма вероятно, что 'эта традиция связана со старой пунктуационной нормой, в соответствии с которой еще в начале ХХ века даже на обложках книг после заголовков точка ставилась.
Слово оболтус – только русское, в других языках не отмечено. Оно встречается с середины XIX века и восходит, по-видимому, к болтать, болтаться (ср. болтаться без дела). В говорах есть выражение оболтался на свете 'понатерся, много болтался по свету' (Даль). Лингвисты предполагают, что слово оболтус школьного (семинарского) происхождения (под влиянием латинских слов на -us), ср. свинтус.
Слово Курщина существует в русском языке и встречается в произведениях писателей XX века, например: В крутом, поголовном хмелю убирается урожай на Курщине (Ю. Нагибин. Дневник. 1954); Еще долго оставались на полях Орловщины и Курщины разбитые танки и самоходки, не так-то просто было собрать и вывезти эти махины (К. Ваншенкин. Рассказ о потерянном фотоальбоме. 1973).
Действительно, в толковых словарях современного русского языка, в том числе в словарях новых слов, не представлены выражения цифра не бьется, цифры не бьются. С опорой на цитаты из публицистических текстов конца ХХ века можно небезосновательно предполагать, что речь идет об оборотах из профессионального языка бухгалтеров и тех, кто работает с разного рода статистическими данными.
По современным правилам русской пунктуации здесь нужно поставить тире, а не запятую — см. параграф 85 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Не соответствующие нынешним правилам знаки в текстах прошлых веков (а цитируемое стихотворение написано в середине XIX века) можно объяснить тем, что правила могут меняться.
С двойным н пишется суффикс -енн(ый) имен прилагательных, образованных от существительных: солома – соломенный, обед – обеденный, жизнь – жизненный. Прилагательные, образованные от глаголов несовершенного вида, пишутся с одним н (соотносительные с ними причастия – с двумя н): жарить – жареный (прилагательное) и жаренный (причастие), ср.: жареная картошка и жаренная на сковороде картошка.
«Словарь русского капиталистического жаргона начала XXI века» В. С. Елистратова (М., 2013) дает такое определение жаргонному глаголу пушить: 'оказывать давление с какой-либо целью, стараться склонить к чему-либо, заставить сделать что-либо, а также прорабатывать, отчитывать' (от англ. to push в близких значениях). Но в приведенном Вами контексте вполне возможна замена такими словами: буду ее решать, вплотную займусь ею.
