«Словарь русского капиталистического жаргона начала XXI века» В. С. Елистратова (М., 2013) дает такое определение жаргонному глаголу пушить: 'оказывать давление с какой-либо целью, стараться склонить к чему-либо, заставить сделать что-либо, а также прорабатывать, отчитывать' (от англ. to push в близких значениях). Но в приведенном Вами контексте вполне возможна замена такими словами: буду ее решать, вплотную займусь ею.

Все эти сочетания встречаются в речи лингвистов. Первое наиболее употребительное, соответствует строгой литературной норме, второе встречается реже, но неправильным его считать нельзя (напр.: Достаточно вспомнить, скажем, что для поэзии, особенно XX века, вопрос, писать с дефисом или слитно очередной поэтический неологизм, неизменно вызывал споры и разногласия [В. Елистратов. Тест и культура речи // «Наука и жизнь», 2009]). Последнее воспринимается как несколько сниженное, разговорное. 

Однородность или неоднородность определений зависит от того, характеризуют ли они предмет с одной стороны или с разных. Словарные толкования прилагательных современный ('стоящий на уровне своего века, отвечающий требованиям своего времени') и актуальный ('важный, существенный для решения проблем, задач настоящего времени; насущный, злободневный, современный') говорят о том, что эти определения однородны, а значит, запятая между ними нужна.

Действительно, деепричатный оборот употреблен неверно, предложение следует перестроить — например, так, как Вы предлагаете.

В русском языке действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом), относится, как правило, к подлежащему данного предложения. В конце XVIII и XIX веке под влиянием французского языка деепричастные обороты нередко употреблялись в отрыве от подлежащего. На некорректность такого употребления указывал еще Ломоносов, однако оно продержалось до начала XX века.

Бабушка права лишь отчасти. Она права в том, что уменьшительное Вика от Виктор действительно существовало, оно до сих пор зафиксировано в словарях русских личных имен (см., например, «Словарь русских личных имен» Н. А. Петровского) – так же как и Витя от Виталий (см. фиксацию в том же словаре). Однако в современном русском языке Витя – основная уменьшительно-ласкательная форма от Виктор. Это норма, зафиксированная словарями.

Спасибо, мы переадресовали Ваш вопрос составителям словарей. Похоже, дело в том, что ударение в этом топониме менялось на протяжении ХХ века: в прошлом в названии города ударение ставилось на втором слоге (об этом свидетельствует название речки, протекающей через город, — местные жители называют ее Вели́жкой), однако во второй половине прошлого столетия велижане стали произносить название города иначе, с ударением на первом слоге. 

В научных публикациях это слово употребляется начиная с 90-х годов ХХ века; ср.: Стратегирование связано с переходом от целеполагания к целеопределению; мировое сообщество переживает своеобразный бум стратегирования; стратегирование — это выявление естественно-исторических закономерностей, поворотных точек и возможных качественных скачков, предопределяющих социальный и научно-технический прогресс. Узкоспециальные или новые научные термины регистрируются в словарях русского языка тогда, когда получают распространение в литературной речи.