В данном случае непонятно, как можно показать размышления. Поэтому правильнее будет: Итоги многодневных размышлений, которые никому не показал...

Полагаем, что материалы словарей русского языка, размещенных на нашем портале, могут помочь Вам в поиске нужных грамматических сведений.

Эта ситуация в правилах не описана. Полагаем, что лучше писать раздельно, по модели глядят не наглядятся (ср. глядят-глядят).

Корректно: рубленый, на студеном ключе колодец. Полагаем, что на студеном ключе не является зависимым словом к отглагольному определению.

Мы не выполняем домашние задания. 

А что такое "швейные нетрикотажные изделия"? Может быть, можно это иначе сформулировать? Полагаем, не всем это будет понятно.

Полагаем, что форма ед. числа при фразеологизме уместна, однако лучше глагол убрать: И смех и грех с этим Ванькой.

Норма употребления для слова Телеграм не установлена, но полагаем, что склонение его в русском языке вполне закономерно: в Телеграме.

Корректно:

Я спросил его: «Что нужно, чтобы отправиться в путешествие?» Он ответил: «Ничего. Просто однажды нужно собраться, сесть и поехать!»  Поэтому наш проект называется именно так.

Употребление корректно. Такая поговорка действительно существует (нам приходилось слышать ее в таком варианте: являются только черти), этим хотят сказать, что использование глагола являться не всегда может быть уместно. Являться в значении 'быть, представлять собой' широко употребительно в канцелярской, деловой, а также в научной речи, поэтому в живой разговорной речи, при непринужденном общении, употребление этого глагола не всегда оправданно, он может придавать словам говорящего ненужную громоздкость, тяжеловесность, официоз (например, приведенное Вами предложение в живой речи лучше звучало бы так: материал... разработан современными учеными). Но не следует воспринимать эту поговорку как категоричный запрет на употребление глагола являться, всячески избегать этого слова тоже неправильно.