В разговорной речи данные названия склоняются, но в официальных бумагах лучше добавлять родовое слово, например: магазин «ИКЕА», в магазине «ИКЕА».

Правильно: к Пелагее. О склонении фамилий и личных имен читайте в «Письмовнике».

См. в «Письмовнике».

Слово сказать, очевидно, использовано здесь в функции вводного, что не свойственно современному русскому языку. Это слово используется лишь в составе вводных сочетаний: сказать по правде, честно сказать и т. д.

Общелитературная норма обязывает употреблять определение в форме мужского рода: наш влюбленный детектив. Согласование по смыслу возможно в разговорной речи: наша влюбленная детектив Иванова. 

Запятая перед союзом "да и", стоящим между однородными членами предложения, не ставится.

Правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию. В параграфе 159 полного академического справочника под ред. В. В. Лопатина приведена такая формулировка: «...если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки; неодинаковые знаки (перед кавычкой и после кавычки) ставятся». В правиле не оговорено, что точка не включается в число этих «неодинаковых знаков», хотя на практике, в том числе в оформлении примеров в параграфе 196 Правил 1956 года, эта точка не ставится. Очевидно, при решении, ставить ли точку в таких случаях, нужно учитывать некоторые дополнительные факторы.

В приведенном Вами примере содержится два фрагмента прямой речи — видимо, сказанных в разное время и (или) в разных ситуациях (в ином случае корректнее было бы оформить их как один фрагмент прямой речи: Он спрашивал меня: «Как дела? Что делаешь?»), — возникает перечисление, маркируемое запятой, и после этого перечисления, завершающего предложение, нужно поставить точку.

См. также ответы на вопросы 309083, 322135.

1. Тот, кто ищет, – находит.

2. Она, когда надо, укажет, предупредит и покажет.