Рекомендуется: Получили ваше обращение. Пару минут — и вернусь к вам с ответом. Сочетание пару минут представляет собой дополнение в неполном предложении, восстанавливаемом как Дайте пару минут или Подождите пару минут. Со второй частью вернусь к вам с ответом оно составляет сложносочиненное предложение. Тире между его частями рекомендуется поставить для выражения значения результата, следствия.

1. Корректно написание со знаком тире: врач — аллерголог-иммунолог. Однако в приведенном Вами примере 1 тире отделило бы конструкцию главный внештатный детский специалист  от конструкции Министерства здравоохранения, что нарушило бы логику и грамматику высказывания; в приведенном Вами примере 2 тире возможно. 

2. Победителем стал Иванов В.В. — ученик Горно-Алтайской детской школы искусств. 

Через дефис пишутся, в частности, глаголы со значением непрерывности процесса или интенсивности действия: На самой заре встанешь  и топчешься-топчешься  по избе: и воды надо принести, и пень растопить (Пауст.); сидел-сидел  в напрасном ожидании;  просил-просил о помощи;

В русском языке дефис используется для соединения слов, которые образуют единое понятие или указывают на повторяемость действия. 

Такая логика губительна для правописания. Правила написания не со словами разных частей речи и без того непросты и не нуждаются в дальнейшем усложнении (к тому же искусственном, никак не опирающемся на практику письма). Аналогии с правилами написания не с прилагательными не видим: у Вас в обоих примерах отрицание действия, а не утверждение.

Думаем, можно написать так: И погибшие мы, но не ставшие памятью, оставались один на один со своею судьбой...

О прямой речи. Тире после прямой речи ставится как знак последующих слов автора. Если же начинается новое предложение с новой строки, тире ставить не нужно. Знаки запятую и тире нужно оставить на одной строке.

Правило о написании местоимения Вы с прописной буквы при обращении к одному лицу не является строго обязательным. Оно применяется по желанию пишущего: если автор текста хочет подчеркнуть уважительное отношение к человеку, он пишет Вы с прописной. Но и написание со строчной вполне возможно: обращение к человеку на вы само по себе является уважительным.

Существительное бюст в значении «скульптурное изображение головы и верхней части человеческого тела (по грудь или по пояс)» управляет родительным падежом: бюст кого (чей) — бюст Александра Первого, бюст Пирогова, бюст Пушкина, бюсты Гете и Шиллера, бюст героя. Часто встречающееся неправильное управление с дательным падежом (бюст Пушкину) возникает на основе ложной аналогии со словом памятник.

Ваши оппоненты правы. Слова автора, стоящие после прямой речи или внутри прямой речи, в любом случае пишутся со строчной буквы. Точка после прямой речи, стоящей перед авторскими словами, не ставится, а вот многоточие (в том числе в сочетании с вопросительным или восклицательным знаком) возможно. Подробно о правилах пунктуации при прямой речи см. здесь.

Думаем, на практике провести такое разграничение затруднительно. Более того, порядковые числительные в спецальной литературе называют также счетными прилагательными. Если значение слова первый так или иначе связано со счетом, порядком вещей, то его можно считать числительным. Если же значение слова первый - "лучший, отличный, главный" (первый ученик, первое лицо государства), то это, скорее, прилагательное.