В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.

Местоимения Вы, Ваш пишутся с прописной буквы только в следующих случаях: а) как форма выражения вежливости при обращении к одному лицу в личных письмах и официальных документах (служебных записках, заявлениях и др.); б) в текстах, предназначенных для многократного использования: анкеты, листовки и др. (адресат – неконкретное лицо). С прописной буквы пишется местоимение Ваш в сочетаниях Ваше Величество, Ваше Высочество.

Выделение запятыми местоимения Вы во фразах, начинающихся словами Прошу Вас... (предоставить отпуск, рассмотреть вопрос и т. д.), – частая пунктуационная ошибка. Причина вот в чём. Носители языка смешивают два правила, в которых встречается слово обращение. Первое правило приведено выше («местоимение Вы пишется прописной буквы при обращении к одному лицу...»). Второе правило, которое помнят со школы: «обращение выделяется запятыми». Подвох в том, что слово обращение употребляется в этих правилах в разных значениях. В первом случае значение данного существительного – действие по глаголу обратиться – обращаться; во втором случае обращение – лингвистический термин (слово или словосочетание, называющее лицо или предмет, к которому обращена речь). Подробную инструкцию по борьбе с этой ошибкой см. в ответе на вопрос № 249535.

В словарях географических названий, энциклопедиях пишут Хамельн, см., например: «Словарь географических названий зарубежных стран» (М., 1986), электронное издание «Большой российской энциклопеди». Но крысолов все же гамельнский, из Гамельна. Эти названия вошли в русский общекультурный фонд и менять их, разрывать культурную традицию не стоит. А. А. Зализняк, придерживавшийся в выборе между традиционным и новым вариантами произношения (часто отражающимися в написании) «некоторого умеренного общего уклона в сторону традиционных решений», в приложении к «Грамматическому словарю русского языка» (М., 2003 и след.) дает название города в форме Гамельн. Но выбор между г и х в этом названии — не единственная орфографическая проблема. В произведениях русских поэтов, обращавшихся к легенде о крысолове, часто встречаются написания с двумя м. Так, поэма Марины Цветаевой «Крысолов» начинается стоками: 

Стар и давен город Гаммельн,
Словом скромен, делом строг,
Верен в малом, верен в главном:
Гаммельн — славный городок! 

Но удвоение м все же не оправдано ничем (нем. Hameln), поэтому его обычно сохраняют только в изданиях поэтических произведений как элемент авторской орфографии.

Оба словаря являются авторитетными изданиями, отражающими современную письменную норму. Вы можете ссылаться на любой из них: не думаем, что в рекомендациях этих словарей Вы найдете большое количество разночтений (если они и обнаружатся, то, скорее, будут касаться недавно заимствованных слов, очень часто испытывающих колебания в написании). Все авторы включенного в список Минобрнауки орфографического словаря принимали участие и в работе над «Русским орфографическим словарем» под ред. В. В. Лопатина: Бронислава Зиновьевна Букчина – один из авторов 1-го издания словаря (1999), Людмила Константиновна Чельцова – один из авторов и 1-го, и 2-го издания (2005), Инна Кузьминична Сазонова – один из рецензентов «Русского орфографического словаря».

Таким образом, принципиальной разницы – на какой словарь ссылаться – нет: авторский коллектив фактически один и тот же. Впрочем, если Вы корректируете официальный документ, имеет смысл указывать словарь Б. З. Букчиной, И. К. Сазоновой, Л. К. Чельцовой, т.к. в приказе Минобрнауки речь идет о словарях, в которых содержатся нормы русского языка как государственного. В повседневной редакторско-корректорской практике рекомендуем Вам пользоваться «Русским орфографическим словарем»: его словник полнее и включает в себя многие слова, недавно заимствованные русским языком и вызывающие особые трудности в написании.

У слова калибр сложный путь заимствования. В этимологиическом словаре Макса Фасмера отмечено: «Через польск. kaliber или нем., голл. kaliber, франц. calibre (с 1478 г.) из ит. calibro, араб. kâlib от греч. καλοπόδιον "форма, образец"».

В современных морфемных и словообразовательных словарях *калиберный рассматривается как вторая часть сложных прилагательных (однокалиберный, крупнокалиберный, мелкокалиберные и т. п.). Однако ещё в «Словаре русского языка XVIII  века» калиберный — самостоятельное нормативное прилагательное, как и производящее существительное калибер.

Достаточно долго существовали вариативные формы калибр и калибер, хотя уже в словаре под редакцией Д. Н. Ушакова (1930-е) калибер имеет пометы 'простореч.' и 'устар'.

Оба варианта корня продолжают использоваться в словообразовании (ср.: калибровка, крупнокалиберный). 

Вставка гласной перед суффиксом -н- поддерживается общей морфонологической тенденцией: русский язык стремится избегать чрезмерного стечения согласных. В данном случае мы не можем говорить о 'беглой гласной' в традиционном понимании этого термина (как в исконных словах, где беглость гласной возникает в позициях исчезнувших редуцированных), но понятие "вариативность корня" в этом случае вполне применимо.

Термин союзное слово обычно используется применительно к анализу сложноподчиненного предложения, как в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале: «Союзные слова являются 1) относительными местоимениями (кто, что, какой, который, чей, сколько и др.), которые могут стоять в разной форме, 2) местоименными наречиями (где, куда, откуда, когда, зачем, как и др.). В отличие от союзов союзные слова не только служат средством связи частей СПП, но и являются членами предложения в придаточной части».

С этой точки зрения слова оттого или поэтому не относятся к союзным словам, так как предложения, части которых они соединяют (типа Рассеянный ты, оттого все твои ошибки), не относятся к сложноподчиненным. Вместе с тем местоименный характер и связующая роль этих слов в предложении сближают их с союзными словами, и, очевидно, по этой причине термин используется в их словарных описаниях (например, слова поэтому в «Большом толковом словаре»).

Что касается слова причем, то к нему едва ли возможно применить термин союзное слово даже в широком понимании: причем характеризуется как союз, и представляется, что синонимии с сочетаниями при этом или к тому же недостаточно для того, чтобы считать его союзным словом.

Это так называемое эллиптическое предложение. Эллиптические предложения представляют собой особую разновидность неполных предложений; в отличие от обычных неполных предложений, они сохраняют смысловую достаточность даже будучи вырванными из контекста.

В самом деле: предложение Лесникова вне контекста производит странное впечатление. А вот в контексте, из которого оно взято, оно вполне осмысленно, потому что контекст дополняет все то, что в нем опущено:

- Ты лесникова дочь?

- Лесникова. (И. С. Тургенев. Записки охотника)

Таковы обычные неполные предложения.

В приведенном вами примере опущена вся грамматическая основа, но он и вне контекста вполне понятен.

О наличии грамматической основы свидетельствуют формы косвенных падежей: дательного (работнику) и винительного (зарплату). Косвенный падеж сам по себе, «ниоткуда», появиться не может: это всегда зависимая форма. Следовательно, подразумевается главный член, который требует, чтобы зависимые от него дополнения приняли формы именно этих падежей. Например, Каждому работнику следует назначить достойную зарплату; Каждому работнику назначьте достойную зарплату. В первом случае перед нами безличное предложение, во втором — определенно-личное. Возможны и другие способы восстановления главного члена (= грамматической основы), но в любом случае он есть.

Слово бот обозначает программу, которая действует автоматически, без участия человека. В русском языке такие слова, как правило, приобретают статус неодушевленного существительного и соответствующим образом склоняются: использовать боты, подключить бот, подписаться на бот. Вместе с тем отдельные группы имен существительных могут изменяться по падежам вариативно; см. примеры и объяснения в статье «Между эмбрионом и покойником: где расположены роботы на шкале одушевленности». В дополнение отметим своеобразие синтаксической конструкции с глаголом используют. Если в предложении отсутствует подлежащее, то вариант конструкции используют ботов служит на пользу однозначности; ср.: Ботов используют для рассылки спама. Форма винительного падежа ботов ясно указывает на зависимый статус существительного (управляемый глаголом компонент со значением объекта действия). Это важный показатель, поскольку возможно предложение с сочетанием боты используют (и с обратным порядком слов используют боты), в котором существительное боты является подлежащим и обозначает субъект действия: боты могут взаимодействовать друг с другом и используют для этого интернет-сервисы. Наблюдения показывают, что все чаще используются обороты, в которых слово бот склоняется по типу одушевленного существительного: мы создавали чат-ботов, создали продвинутого бота, разработаем бота.

Порядковые числительные в виде арабских цифр с наращением падежного окончания ― это преимущественная форма порядковых числительных в изданиях деловой и научной литературы. 

Без наращения окончания используются только такие порядковые числительные в виде арабских цифр, как:

1. Номера томов, глав, страниц, иллюстраций, таблиц, приложений и т. п. элементов изданий, если родовое слово (название элемента: том, глава и т. д.) предшествует номеру. Напр.: в томе 6; главе 5; на с. 85; на рис. 8; в табл. 11; в прил. 6.

Однако если родовое название элемента стоит после числительного, последнее следует писать с наращением падежного окончания. Напр.: в 6-м томе; в 5-й главе; на 83-й странице.

2. Даты (годы и числа месяца), если слово год или название месяца следует за числом. Напр.: В 1997 году; 12 декабря 1997 года. Не: В 1972-м году; 12-го декабря 1997-го года.

Однако если слово год или название месяца опущено или поставлено перед числом, падежное окончание рекомендуется наращивать. Напр.: в мае, числа 20-го; год 1920-й; Грянул 1917-й; Концерт перенесли с 15 мая на 22-е; 20-го же апреля...

Вот что написано в пособии Е. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников» о том, как различить причастия и отглагольные прилагательные:

1. Причастия обозначают временный признак предмета, связанный с его участием (активным или пассивным) в действии, а прилагательные обозначают постоянный признак предмета (например, ‘возникший в результате осуществления действия’, ‘способный участвовать в действии’), ср.:

Она была воспитана в строгих правилах (=Ее воспитали в строгих правилах) — причастие;

Она была воспитанна, образованна (=Она была воспитанная, образованная) — прилагательное.

2. Слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несовершенного вида (далее НСВ) и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола совершенного вида (далее СВ) и/или имеет зависимые слова, ср.:

некошеные луга (прилагательное),

не кошенные косой луга (причастие, т.к. есть зависимое слово),

скошенные луга (причастие, т.к. СВ).

3. Поскольку страдательные причастия настоящего времени могут быть только у переходных глаголов НСВ, слова с суффиксами -им-, -ем- являются прилагательными, если они образованы от глагола СВ или непереходного глагола: непромокаемые сапоги (прилагательное, т.к. глагол промокать в значении ‘пропускать воду’ непереходный), непобедимая армия (прилагательное, т.к. глагол победить СВ).