Извините, вопрос не вполне понятен. Формулировка условий задачи должна быть, вероятно, примерно такой: "Какими могут быть шары в мешке, если известно, что они или большие, или красные?"  

Если сочетание при условии не акцентируется, то сложный союз при условии что не расчленяется: Тем не менее этот закон полезен для граждан, при условии что они применяют его правильно.

В обобщенно-личных предложениях главный член выражен глаголом в форме второго лица единственного числа изъявительного и повелительного наклонений или в форме третьего лица множественного числа изъявительного наклонения.

Главный член безличного предложения стоит в форме третьего лица единственного числа (в настоящем или будущем времени изъявительного наклонения) или среднего рода единственного числа (в прошедшем времени изъявительного наклонения и в условном наклонении) — это так называемая безличная форма.

В первой части сложного предложения Любишь кататься — люби и саночки возить глагол стоит в форме второго лица единственного числа изъявительного наклонения (любишь), а во второй части — в форме единственного числа повелительного наклонения (люби). Таким образом, это обобщенно-личное предложение.

Вы правы в том, что в приведенных примерах деепричастие учитывая употреблено некорректно. Во всех трех случаях лучше использовать условное придаточное: Если учесть, что… Но деепричастие при этом не перестает быть деепричастием. Предлог не может подчинять изъяснительное придаточное, на это способно только знаменательное слово с определенным значением.

Некорректность употребления деепричастия заключается в следующем. Действие, обозначаемое деепричастием, должно выполняться тем же субъектом, что и действие, обозначенное глаголом-сказуемым. Но сочетание не может учитывать (в первом примере), словообразование — тоже (второй пример), стратегия — тоже (третий пример). Именно несоблюдение этого правила вы ошибочно именуете «согласованием со сказуемым» (согласования в грамматическом смысле здесь нет).

Нет, в этом случае не сравниваются результаты ученика с результатами одноклассников. Речь идет о собственных успехах ученика, о том, что его собственные результаты (оценки) перестали, условно говоря, контрастировать и выровнялись.

Верно: изменение технических условий — если речь идет о самих условиях. Если имеется в виду документ, где описаны эти условия, то верно: изменения в "Технических условиях", но: внести изменения в "Технические условия".

Нужны обе запятые. Таким образом – вводное сочетание, ввиду того что – составной подчинительный союз, начинающий придаточное предложение. Наличие перед союзом вводного слова – одно из условий расчленения союза (постановки запятой между его частями).

В первом предложении использован сложный союз для того чтобы, во втором – союз чтобы. Корректно: Это необходимо, только чтобы выровнять трубу (если перед подчинительным союзом стоит усилительная частица, запятая ставится перед ней).