Предложенный учителем вариант пунктуации возможен: слова дорогая и бабушка могут быть двумя однородными обращениями. Но обращение-словосочетание типа дорогая бабушка все же более типично. Приведем известные примеры:

И врагу никогда не добиться,
Чтоб склонилась твоя голова,
Дорогая моя столица,
Золотая моя Москва!

                   М. Лисянский, С. Агранян

Всю бы жизнь свою подняла я, ―
осуши ее всю ― до дна, ―
за победу твою и славу,
дорогая моя страна.

                    О. Берггольц

В принципе, Вы рассуждаете верно, однако, на наш взгляд, причинно-следственная связь здесь не слишком очевидна, поэтому рекомендуем более простой вариант:

Я был бы счастлив видеть чаще,
Как в ней соединяются твои уста.
Нет ничего твоей улыбки слаще,
И с нею жизнь кажется проста.

Мне трудно подобрать слова,
Чтоб описать, как ты красива.
С тобою рядом идёт кругом голова,
И в сердце происходят чувств приливы.

Да, в словарях содержатся противоположные рекомендации. Но на сайте этой организации пишут: Гринпис обнародовал, Гринпис раскрыл, т. е. согласование по мужскому роду (как указано в «Русском орфографическом словаре» РАН).

Вот что пишет о происхождении этого названия известный ученый-топонимист Евгений Михайлович Поспелов (словарь «Географические названия России»): «Наличие в названии притяжательного суффикса -ин позволяет считать, что в его основе находится прозвищное личное имя Пушка, которое имело довольно широкое распространение: в своде древнерусских имен С. Б. Веселовского (1974), составленном по источникам XV-XVII вв., упомянуто около 30 Пушкиных. В их числе и Григорий Александрович Пушка Морхинин (середина XVI в.), от которого пошел тот род Пушкиных, к которому принадлежал и поэт А. С. Пушкин. По предположению акад. С. Б. Веселовского, этот Григорий Пушка мог владеть селом, получившим по его имени название Пушкино. Документальных доказательств связи ойконима с Григорием Пушкой нет, но его образование от Пушка или Пушкин сомнению не подлежит: именование селений по владельцам было обычным для вотчинного и поместного землевладения. Но среди краеведов распространено мнение, что название села образовано от названия р. Уча, на которой оно расположено. Образование предполагается по схеме: По Уче > По Уше > По Ушке > Поушкино > Пушкино. Понятно, что ни предполагаемая исходная форма По Уче, ни одна из промежуточных форм никакими источниками не зафиксированы, и совершенно очевидно, что эта фантастическая этимология представляет собой невежественный, искусственный домысел».

См. ответ на вопрос № 187638.

Все вопросы предполагают полноценный экспертный анализ конкретных высказываний в конкретных текстах.

Корректно: «Не важно, знаешь ли ты правильный ответ, — главное, чтобы его знали люди из твоей телефонной книги!» — вот главное правило игры, в которой тебе и друзьям придётся постоянно импровизировать! После слова ответ нужно поставить оба знака — и запятую, и тире: запятая закрывает придаточную часть, тире выражает сопоставительные отношения между частями не важно и главное. Остальные знаки поставлены правильно.

Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.

Обращение не упоминается как компонент, объединяющий две части сложносочиненного предложения, ни в полном академическом справочнике «Правила орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина, ни в руководствах Д. Э. Розенталя, ни в «Правилах орфографии и пунктуации» 1956 года. Наиболее общий принцип, лежащий в основе правил об «отмене» запятой в сложносочиненном предложении, сформулирован в Правилах 1956 года:

«Запятая перед союзами и, да (в значении «и»), или, либо не ставится, если соединяемые ими предложения имеют общий второстепенный член или общее придаточное предложение. Наличие общего второстепенного члена или общего придаточного предложения тесно связывает такие предложения в одно целое...»

То есть объединяет части какой-то компонент, который является структурным и смысловым элементом обеих частей предложения, или относится к обеим частям. Обращение грамматически не связано с предложением, не является членом предложения. Вероятно, это дает основание авторам руководств по пунктуации не упоминать обращение как компонент, «отменяющий» запятую. При этом и в академическом справочнике, и у Д. Э. Розенталя говорится, что объединяющую функцию может выполнять вводное слово, а оно, как и обращение, не является членом предложения. Однако это кажется вполне соответствующим принципу, прописанному в правиле: вводное слово, указывая на оценку достоверности высказывания, выражая чувства говорящего и т. д., относиться ко всему предложению в целом, объединяет его части.

Может ли такой функцией обладать обращение? Нам кажется, что объединяющий потенциал у обращения есть. «Русская грамматика» пишет:

«Обращение не является таким распространителем, который никак не связан с остальным составом предложения. Такая связь существует. Она выражается, во-первых, в том, что любое предложение, сообщающее о действии или состоянии определенного субъекта и имеющее в качестве сказуемого глагол в форме 2 л., с абсолютной регулярностью может распространяться обращением, называющим субъект, который либо обозначен в подлежащем местоимением, либо не обозначен совсем: Куда так, кумушка, бежишь ты без оглядки? (Крыл.); Ах, раскиньтесь, строчки песнопений, над землею вечно молодой (Прок.); Откройся, мысль! Стань музыкою, слово (Забол.).

<...>

В художественной литературе, в поэзии функции обращения расширяются и обогащаются. Основная, общеязыковая функция адресования речи сохраняется; однако здесь она не только не является единственной, но очень часто оказывается ослабленной или преобразованной».

Здесь же приводится несколько примеров такого расширения функций обращения: «В поэтической речи обращение может вводить основную тему, называть тот предмет, которому посвящено последующее повествование», «сохраняя функцию называния того, к кому адресована речь, обращение в художественной, поэтической речи часто сосредоточивает в себе центральную часть сообщения» и др.

Таким образом, мы видим, что обращение может быть семантически очень значимым компонентом предложения, по смыслу связанным со всем предложением. А значит, оно способно объединять части.

В Ваших предложениях в соответствии с буквой правила запятую ставить нужно, но духу правила отвечает вариант без запятой. Внутри частей есть местоимения, которые указывают на того, кто назван в обращении, то есть связь частей с обращением выражена.

Однако мы нашли предложения (и пока только такие), где при наличии обращения объединения не происходит, например: Сынок, я всю жизнь оберегал Амина, и всю жизнь меня за это били по рукам [О. Гриневский. Восток ― дело тонкое (1998)]

Очевидно, что Ваш вопрос требует научного изучения, а правила ― уточнения.

В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.