Нет, в этом предложении нарушено правило согласования деепричастного оборота. Действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом), относится, как правило, к подлежащему данного предложения, например: Подведя итоги прений, председатель собрания отметил общность взглядов докладчика и участников совещания. Если же производитель действия, обозначенного глаголом-сказуемым, и производитель действия, обозначенного деепричастием, не совпадают, употребление деепричастного оборота стилистически ошибочно, например: «Переходя через рельсы, стрелочника оглушил неожиданный свисток паровоза» (переходя относится к стрелочнику, а оглушил — к свистку).

Верно: в начале XVIII и XIX веке.

Если имеется в виду, что обсуждение некоторой темы будет продолжено на онлайн-трансляции, то знаки препинания в предложении не требуются.

Даты старого (точнее, нового) стиля обычно заключают в скобки: 18 (31) мая, 19 мая (1 июня).

Существуют две традиции передачи этого английского звука  в русском языке, ср. Ватсон — Уотсон. Лучше так, как ближе к произношению. Но если уже существует сформировавшаяся традиция (как, например, с доктором Ватсоном), то менять ее не надо. Кроме того, существуют произносительные различия между британским и американским вариантами английского. По интернет-источникам можно определить, что произношение имени Mallowan в этих вариантах различается. Соответственно, есть и различия в написании. В этом конкретном случае очевидно, что на письме употребимы оба варианта, см. ссылки: 

https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.ru.be68ff4c-67531bba-e2f97a52-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Max_Mallowan

ttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD,_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81

Ни один из них нельзя назвать ошибочным. Выбор будет вкусовым. 

Кавычки не требуются: 01, 02, 03, 04, служба 01. (Если это не официальное название организации, например: ООО "Служба 01").

Корректно: ...предоставить отпуск на с 01.02.08 по 03.02.08 за счет дней отпуска, не использованных в 2007 году.

Верно: на 71 из 99 столов, на 71 столе из 99.

После числительных двадцать (тридцать, сорок и т. д.) два, двадцать три, двадцать четыре, если эти числительные стоят в форме именительного или винительного падежа, невозможно употребить слово сутки. Эти числительные требуют после себя форму родительного падежа единственного числа, а слово сутки форм единственного числа не имеет. Поэтому, если стоит задача соблюсти грамматическую правильность, необходимо перестраивать фразу (как, например, это сделано в заданном вопросе) или менять падеж числительного на родительный, дательный, творительный или предложный: время работы равно тридцати четырем суткам, работа продолжается в течение тридцати четырех суток и т. п.