Можно играть с куклой (но чаще говорят "играть в куклы") и с машиной. Этого "правила" из детского сада в словарях и грамматиках нет.

Правильнее говорить об участниках голодовки. Вариант голодающие также возможен.

Правильно написание через тире: воины — участники специальной военной операции.

Сочетание "пользователи экономики" некорректно. Может быть, заменить сочетанием "участники экономических отношений"?

«Мы не идем сегодня гулять?» — это вопрос с псевдоотрицанием, потому что он практически равнозначен вопросу без отрицания: «Мы идем сегодня гулять?» Во всяком случае, именно так он обычно воспринимается. Отрицательная частица здесь относится не к действию, обозначенному глаголом, а к совершенно иному слою содержания высказывания, она вносит в высказывание примерно следующий смысл: ‘Не имеет ли место ситуация «Мы сегодня идем гулять»?’ Это означает, что задающий вопрос испытывает сомнение по поводу действительности ситуации «Мы сегодня идем гулять», и вот это сомнение отрицательная частица как раз и отражает. 

Отвечая «Нет», собеседник тем самым сообщает: ‘Такая ситуация места не имеет’ = ‘Мы не идем гулять’.

Поэтому ответ «Нет» обычно означает «Нет, не идем» и именно так воспринимается.

Точно так же, когда вы спрашиваете только что упавшего ребенка: «Ты не ушибся?», а он отвечает «Нет», — вы успокаиваетесь, потому что его «Нет» означает, что он не ушибся, ситуация «Ребенок ушибся» места не имеет.

Следует заметить, что в данном случае уместнее говорить о нормах не русского языка, а речевого поведения. Если человек хочет быть понятым правильно, он не ограничится односложным «Нет», а добавит «не идем» — и недопонимание будет исключено.

Это слово пишется без кавычек в значении "участник арктического рейса на пароходе "Челюскин" в 1933 - 1934 гг.".

Грамматически правильно: в память кого? – участников (воспоминание о ком-либо), в память о ком? – об участниках (напоминание о ком-либо).

Существует слово гандикап - преимущество, предоставляемое более слабому участнику спортивного соревнования или игры для уравнивания шансов на успех; фора. // Спортивное соревнование, проводимое с таким условием.