Слово хлызда в доступных нам источниках (в том числе в словарях арго) не зафиксировано. Однако «Словарь тюремно-лагерно-блатного жаргона (речевой и графический портрет советской тюрьмы» (М., 1992) фиксирует слово хлюзда – именно в таком значении, о котором Вы пишете: 'ненадежный человек; трус'. Таким образом, это экспрессивное жаргонное слово, в состав русского литературного языка оно не входит.
Можно сделать предположения относительно этимологии слова хлюзда. В словаре Даля зафиксированы слова хлюзда 'плут, обманщик, мошенник или шулер', хлюздить ''кривить душой, жилить, присваивать себе чужое', хлуздать 'врать небылицы'. Далее – М. Фасмер, автор «Этимологического словаря русского языка», связывает хлуздать 'врать' и хлуздать 'скользить, кататься по льду' (которое также есть у Даля), а хлуздать 'скользить' – экспрессивный вариант от глуздить < глудкий 'скользкий, гладкий', имеющего индоевропейские корни.
Таким образом: глудкий 'скользкий' > глуздить ''скользить' > хлуздать 'скользить' и переносное значение, развившееся на базе прямого, – 'кривить душой' > хлюзда ''плут, обманщик, ненадежный человек' > хлюзда (и, возможно, как вариант, не зафиксированный в словарях, – хлызда) 'трус'.
Кавычки не нужны. Но лучше сказать "пишет как курица лапой".
Корректно: Об этом пишет Пушкин: "Цитата", - и Лермонтов: "Цитата".
Запятые не требуются: Все счета по указанным платежам были переданы своевременно.
Верно: В листе учета указывается дата, время прибытия и убытия сотрудника.
Для написания с большой буквы нет оснований. Верно: документы управленческого учета.
М. Фасмер пишет, что всадник, скорее всего, славянское новообразование от садить.
Название организации "Почта России" заключается в кавычки, даже если отсутствует родовое наименование.
Если имеется в виду "тратить меньше времени, оплачивая счета", верен второй вариант.
