Термин союзное слово обычно используется применительно к анализу сложноподчиненного предложения, как в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале: «Союзные слова являются 1) относительными местоимениями (кто, что, какой, который, чей, сколько и др.), которые могут стоять в разной форме, 2) местоименными наречиями (где, куда, откуда, когда, зачем, как и др.). В отличие от союзов союзные слова не только служат средством связи частей СПП, но и являются членами предложения в придаточной части».

С этой точки зрения слова оттого или поэтому не относятся к союзным словам, так как предложения, части которых они соединяют (типа Рассеянный ты, оттого все твои ошибки), не относятся к сложноподчиненным. Вместе с тем местоименный характер и связующая роль этих слов в предложении сближают их с союзными словами, и, очевидно, по этой причине термин используется в их словарных описаниях (например, слова поэтому в «Большом толковом словаре»).

Что касается слова причем, то к нему едва ли возможно применить термин союзное слово даже в широком понимании: причем характеризуется как союз, и представляется, что синонимии с сочетаниями при этом или к тому же недостаточно для того, чтобы считать его союзным словом.

1. Неясно, о каких именно "древних" словарях Вы пишете. Из приведенной Вами словарной цитаты следует, что: 1. Глагол садить (заголовочное слово) имеет стилистическую окраску как народно-разговорное слово; 2. Значения глагола садить совпадают (=) со значениями глагола сажать — именно в этой словарной статье их и следует искать. 

2. Прошу садиться — стандартная этикетная формула. См. о садиться и присаживаться на https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/prisazhivatsya-i-saditsya

Вот что пишет о происхождении этого названия известный ученый-топонимист Евгений Михайлович Поспелов (словарь «Географические названия России»): «Наличие в названии притяжательного суффикса -ин позволяет считать, что в его основе находится прозвищное личное имя Пушка, которое имело довольно широкое распространение: в своде древнерусских имен С. Б. Веселовского (1974), составленном по источникам XV-XVII вв., упомянуто около 30 Пушкиных. В их числе и Григорий Александрович Пушка Морхинин (середина XVI в.), от которого пошел тот род Пушкиных, к которому принадлежал и поэт А. С. Пушкин. По предположению акад. С. Б. Веселовского, этот Григорий Пушка мог владеть селом, получившим по его имени название Пушкино. Документальных доказательств связи ойконима с Григорием Пушкой нет, но его образование от Пушка или Пушкин сомнению не подлежит: именование селений по владельцам было обычным для вотчинного и поместного землевладения. Но среди краеведов распространено мнение, что название села образовано от названия р. Уча, на которой оно расположено. Образование предполагается по схеме: По Уче > По Уше > По Ушке > Поушкино > Пушкино. Понятно, что ни предполагаемая исходная форма По Уче, ни одна из промежуточных форм никакими источниками не зафиксированы, и совершенно очевидно, что эта фантастическая этимология представляет собой невежественный, искусственный домысел».

«Объяснительный русский орфографический словарь-справочник» (Ин-т русского языка им. В. В. Виноградова РАН; Е. В. Бешенкова и др. М., 2015) сообщает о сочетании (в)глубь следующее:

вглубь 1) пишется слитно как наречие от существительного (глубь), принадлежащего к закрытому ряду слов с простран­ственным или временным значением (распростра­ниться вглубь и вширь, проблему не решили, а загнали вглубь); 2) закрепившееся слитное написа­ние предлога (зверь забился вглубь норы). ◊ Не путать с сочетанием предлога и существительного, управляющего другим существительным, напр.: в глубь океана; в глубь веков; в глубь души; вникать в глубь, в суть проблемы; в глубь времён; вышел из распахнутых в глубь дома дверей. Поскольку в современном языке дан­ный предлог находится еще в стадии формирования, то разница между сочетанием с предлогом вглубь дома и сочетанием существительных в глубь океана трудно уловима, поэтому в данных сочетаниях вполне возможно вариативное написание. (Статья приведена с некоторыми сокращениями.)

В предложении Настоящий геолог проникает (в)глубь Земли слово глубь вполне соответствует значению, зафиксированному в «Большом толковом словаре русского языка» (под ред. С. А. Кузнецова), – ‘место или пространство, расположенное на большом расстоянии от поверхности земли или воды’. Поэтому в данном случае более обоснованным представляется раздельное написание.

Безупречны такие варианты: пер-воклассник, перво-классник, первоклас-сник. 

Перенос части рвоклассник нежелателен, так как в нем нарушается закон строения слога – закон восходящей звучности, по которому невозможно сочетание сонорного звука (более звонкого) и последующего шумного (менее звонкого). Но этот закон в школе не изучают, и правила орфографии не разъясняют, в какой мере его нужно учитывать. При этом сообщается, что «группа неодинаковых согласных букв в середине слова, входящих в корень или образующих стык корня и суффикса, может быть разбита переносом любым образом, напр.: се-стра, сес-тра и сест-ра; це-нтральный, цен-тральный и цент-ральный; ро-ждение и рож-дение; де-тство, дет-ство, детс-тво и детст-во; шу-мный и шум-ный». Однако заметим, что в примерах нет слов с сочетанием сонорного и шумного типа первый. В общем, в правиле заключено некоторое скрытое противоречие, нуждающееся в прояснении. Итог: перенос пе-рвоклассник рекомендовать нельзя, однако и нельзя считать его орфографической ошибкой.

Еще один проблемный вариант – первокласс-ник. С одной стороны, правила гласят: «разбиваются переносом удвоенные согласные, входящие в корень» (в некоторых источниках говорится только о положении удвоенных согласных между гласными), а с другой стороны, среди допустимых вариантов переноса можно найти класс-ный. Этот вариант учитывает морфемные границы, поэтому чтению он не препятствует. Отсюда вывод: вариант первокласс-ник вполне возможен.

К сожалению, ситуация, когда рекомендации одного словаря противоречат рекомендациям другого, не редкость. Словари составляются разными авторами (или авторскими коллективами), живущими в разных городах, представляющими разные лингвистические школы. У этих авторов вполне могут быть противоположные точки зрения по одному и тому же вопросу. Вряд ли возможно найти два таких авторитетных нормативных словаря, которые ни в одной словарной статье не противоречили бы друг другу.

И всё-таки считать варианты подпись и роспись полностью равнозначными сейчас вряд ли оправданно, рекомендация словаря Т. Ф. Ефремовой спорная. Отстоять свою правоту Вы можете ссылками на другие толковые словари русского языка. Например, в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой у слова роспись такого значения нет (есть значения 'действие по глаголу расписать', 'письменный перечень чего-либо' и 'живопись на стенах, потолках, предметах быта'). В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова указано, что слово роспись допустимо употреблять в значении 'подпись' лишь в разговорной речи (иными словами, и здесь варианты не признаются равнозначными). О том, что роспись нельзя использовать вместо подпись, писала филолог, журналист Марина Королёва в книге «Говорим по-русски с Мариной Королёвой» (М., 2003). Таким образом, большинство лингвистов за то, чтобы не признавать варианты подпись и роспись в данном значении равноправными.

Подобный вопрос возникает, когда в предложении отсутствует родовое слово перед названием. Сравним обсуждаемый вариант с лексически полным предложением, свободным от грамматических коллизий: Если нажать на три точки у кнопки «Загрузка», можно посмотреть дополнительную информацию. Очевидно, что никаких грамматических правил не существует для лексически неполных предложений, в которых имена собственные не предваряются родовыми словами. Авторы лаконичных высказываний самостоятельно выбирают падежную форму имени собственного — с учетом контекста, смысловых особенностей предложения, речевых традиций в той сфере, в которой текст будет «жить», и представления о том, будет ли написанное понятно читателю.

В «Русском правописании с комментариями» читаем:

«В причастиях и отглагольных прилагательных, оканчивающихся на сочетание «гласная + н(н)ый», образованных от глаголов на -ать(-ять), пишется гласная а(я) (недослушанный — ср. недослушать, подержанный, резаный, выгулянный, выменянный, нечаянный), в причастиях и отглагольных прилагательных, образованных от глаголов не на -ать(-ять), пишется гласная е (вверченный — ср. ввертеть, виденный, крашеный, положенный, стриженый, укушенный, хоженый).

Исключения: выровненный (хотя выровнять), подравненный (хотя подравнять), приравненный (хотя приравнять), сравненный (хотя сравнять), уравненный (хотя уравнять), защекоченный (хотя защекотать), поколебленный (хотя поколебать), саженый (хотя сажать, от прост. садить)».

Вы задали очень интересный вопрос. В «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина, в толковых словарях возможность образования сочетаний по модели (по)хвалить кому-то не отмечается. Однако в Национальном корпусе русского языка единичные примеры есть:

― Я был простой мужик, голяк; вы точно меня вытащили из грязи, похвалили моему барину-князю. [Г. П. Данилевский. Воля (1863)]

Хотя директор и похвалил мне предварительно преподавателя, но я остался не совершенно доволен преподаванием, сравнивая его с тем, которое слышал в других местах. [К. Д. Ушинский. Педагогическая поездка по Швейцарии (1862-1863)]

В утешение могу сообщить тебе приятную новость: нынче на лекции у нас Никольский даже похвалил нам тебя. [В. П. Авенариус. Гоголь-студент (1898)]

Ее он охотно взял и, прочитав один, похвалил мне потом вечером и вдруг неожиданно для меня заговорил совсем дельно... [Н. А. Морозов. Повести моей жизни/ Во имя братства (1912)]

По вечерам, придя с работы и управившись по хозяйству, Васькина мать выходила за калитку похвалить соседкам своего брата, капитана. [В. Ф. Панова. Сережа (1955)]

Чтобы не молчать, он похвалил матери Таню... [Г. Е. Николаева. Битва в пути (1959)]

Полагаем, что выражение учитель похвалил родителям их сына считать грубой ошибкой не стоит. Однако в современной речи такой оборот нежелателен.