Академический орфографический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН в 2020 году зафиксировал дефисное написание гендерно-нейтральный, что на тот момент полностью соответствовало узусу (бывают случаи, когда узус для данного конкретного слова подавляет общее правило). Но слово осваивается в языке, раздельных написаний (по правилу) становится всё больше, и сейчас орфографисты предлагают писать гендерно нейтральный раздельно, в соответствии с общим правилом. Рекомендация  «Академоса» для гендерно нейтральный и гендерно специфичный изменена, зафиксировано раздельное написание.

В словарях современного русского литературного языка слово подпадание не зафиксировано. В словарях есть только подпадение. 

Предпочтительный вариант – омбудсмен. Этот вариант соответствует строгой литературной норме, поэтому именно его рекомендует словарь «Русское словесное ударение», адресованный прежде всего работникам эфира. Вариант омбудсмен сейчас допустимый (т. е. не ошибочный, но менее желательный). Вполне возможно, что со временем (когда это слово будет полностью освоено русским языком) ударение окончательно перейдет на последний слог (ср. бизнесмен, спортсмен и т. д.).

Да, эти конструкции одинаковы, во втором случае тоже следовало бы ожидать двоеточие. Но, во-первых, постановка тире по правилам пунктуации здесь тоже возможна, а, во-вторых, пунктуация в художественном (особенно поэтическом) тексте зачастую используется автором для усиления выразительности; автору «простительны» некоторые пунктуационные вольности.

Здесь же  Сергей Михалков поставил тире, по-видимому, для того, чтобы не перегружать предложение двоеточиями, ведь полностью оно звучит так:

Но зато на стадион
Проходил бесплатно он:
Пропускали дядю Степу –
Думали, что чемпион.

Логика лингвистическая: инициалы имени и отчества - это разновидность графического сокращения слов. Когда слова сокращаются до первой буквы (инициала) и сокращение заканчивается точкой, то между сокращенными словами ставят пробел. Почему же это правило должно нарушаться для инициалов?

Ваш вопрос касается традиций написания терминов, используемых в профессиональной речи. Сложившаяся практика полного и сокращенного написания терминов может свидетельствовать о том, что специалистам те или иные варианты записей представляются удобными и однозначными. В обсуждаемом случае важно и то, что каждый из трех терминов  предполагает особенный, отличающийся контекст, а значит, какая-либо путаница при употреблении сокращенных обозначений едва ли возможна.

Точка как знак сокращения в данном случае ставится. См.: А. Э. Мильчин. Справочник издателя и автора. М., 2003. Гл. 4.3.2.

См. ответ 289401.

В названиях соборов, храмов, орденов, в географических наименованиях правильно написание слова святой с большой буквы: храм Святого Симеона Верхотурского.