Правильно в зависимости от смысла: всевозможными способами (самыми разнообразными, какие только можно себе представить) и всеми возможными способами (всеми доступными).
Такая форма существует в языке, но она неупотребительна. Вместо нее используют р. п. слова мечтание – мечтаний.
Здесь представлены чередующиеся гласные. Вот правило: в безударном корне лаг- – лож- перед г пишется а, перед ж пишется о (исключение – слово полог, где корень -лог- в современном языке уже не выделяется).
Литературный язык такого слова не знает.
Имея в виду исследование, так и нужно написать: исследование.
Статус начальной части противо... неоднозначен. Ее характеризуют как приставку или как первую часть сложных слов, см. ресурс «Проверка слова». А. Н. Тихонов в своем «Словообразовательном словаре русского языка» включил слово противогаз только в гнездо слова газ, определяя способ образования как приставочный.
Корректно написание со строчной буквы. С прописной буквы пишется Федеральный закон как начало официального названия.
Скорее, суффиксальным способом от заморозить.
