Нам представляется, что корректно употребление варианта цезаремания, так как в нем более прозрачна внутреняя форма. Носители языка в тех редких случаях, когда все же используют это слово, выбирают только соединительную гласную е, например: Просто у Триглава мания величия. В острой форме. Так сказать цезаремания; ...тоже мне цезаремания; Как раз цезаремания присуща выскочкам "из грязи в князи" и т. п. 

В таких названиях склоняются обе части, пишущиеся через тире: заместителю генерального директора — главному инженеру. Сравним пример из параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: обратиться к директору — художественному руководителю.

Иносказательное выражение (иносказание) — то же, что аллегория: изображение абстрактного понятия или явления через конкретный образ. Аллегория состоит из двух элементов:
1) смыслового — это какое-либо понятие или явление (мудрость, хитрость, доброта, глупость, смелость и др.), которое стремится изобразить автор, не называя его;
2) образно-предметного — это конкретный предмет, существо, изображенные в художественном произведении и представляющие названное понятие или явление. Так, в баснях, сказках трусость часто воплощается в образе Зайца, хитрость — Лисы и т. п. Старость нередко аллегорически воплощают в образе осени, вечера или заката. Аллегория может лежать в основе образной системы целого произведения (например, «Арион» А. С. Пушкина).

Запятая после слова "стадиона" не нужна.

Тогда уж так: В дверь, потом налево.

"Справка" не выполняет домашних заданий.

Не воюйте! Для разговорной (обиходной) речи такое словоупотребление вполне в порядке вещей.

У глагола ввести есть значение "управляя чем-либо, направить внутрь, в пределы чего-либо" (в толковом словаре это значение номер два). Поэтому употребление корректно. Вариант с глаголом вывезти также верен.