ПРИ ЭТОМ, союз и наречие

1. Союз. Синтаксические конструкции с союзом «при этом» выделяются знаками препинания, обычно запятыми.

Володя Яшкин, за ночь постаревший лет на двадцать и еще больше исхудавший, черный, со слезящимися, красными глазами, потряхивал головой, при этом все время что-то у него дребезжало в нагрудном кармане. В. Астафьев, Прокляты и убиты. Яковлев сел в кресло, закинул ногу на ногу, при этом обнаружились его красивые носки. В. Шукшин, Мнение.

2. Наречие. Не требует постановки знаков препинания.

Он при этом крякнул и махнул рукой. И. Гончаров, Обыкновенная история. «Какой он, однако ж, жалкий!» – заметила при этом Нюта Смущенская. М. Салтыков-Щедрин, Для детского возраста.

В обоих случаях запятая не нужна.

1. Если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения, запятая после который не ставится. Ср.: Направо была дверь, пройдя которую можно было попасть в коридор, ведущий на сцену.

2. В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина дается такая рекомендация. В начале предложения не разделяются запятой сочинительный и подчинительный союзы, а также подчинительный союз и союзное слово, напр.: Денис помер. И когда я уезжал, старуха его вынесла мне гуся... Потому что где же они теперь могут встретиться?

Различение незаконченной фразы и купюры в цитате не предусмотрено. Однозначно указывает на купюру многоточие в угловых скобках, но его рекомендовано использовать для обозначения пропущенного предложения или нескольких предложений. Обычно потребность в таком обозначении возникает в книжной речи.

В Вашем предложении знак купюры синтаксически оправдан: Помню, как ты без конца твердил: «Унылая пора!.. <...> ...Люблю я пышное природы увяданье…»  Но при передаче речи в бытовой ситуации этот знак кажется неуместным. Предлагаем обойтись без него, но добавить многоточие перед Люблю, так как это слово не начинает предложение в источнике цитаты: Помню, как ты без конца твердил: «Унылая пора!.. ...Люблю я пышное природы увяданье…»

Вы задаете очень интересный вопрос. Сочетание король рок-н-ролла может осмысляться как прозвище и писаться по правилу о прозвищах так: Король Рок-н-Ролла или Король рок-н-ролла. Однако первый вариант не встречается совсем, второй очень редко. Сочетание осмысляется как описательный оборот, титул и пишется устойчиво без прописных букв. Возможно, на восприятие оборота влияет частое употребление его перед именем (напр.: За ним в рейтинге следуют известный гольфист Арнольд Палмер и король рок-н-ролла Элвис Пресли), а также то, что слово король в значении 'первый, самый лучший среди других, тот, кто достиг совершенства в чём-л.' закрепилось в русском языке (см. фиксацию в словаре).  

В этом случае сочетание и наборот служит для связи частей сложного предложения и выделяется — такая его функция, в числе прочих, указана в «Справочнике по пунктуации». Там же говорится, что если и наоборот служит для связи частей сложного предложения, оно выделяется знаками препинания целиком — либо запятыми, либо (на наш взгляд, это более уместный вариант) запятой с одной стороны и двоеточием с другой: Чем выше эластичность спроса, тем более приближены условия деятельности монополиста к условиям свободной конкуренции, и наоборот: при неэластичном спросе у монополиста создается больше возможностей «взвинчивать» цены и получать монопольные доходы.

Позиция после сочинительного союза, находящегося в начале предложения, не препятствует расчленению сложного союза для того чтобы, однако если придаточная часть предшествует главной (а здесь именно такой случай), запятая чаще ставится после всей придаточной части, то есть предпочтителен вариант: Но для того чтобы себя улучшать, вам нужно... См. параграф 34.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя и приведенный там пример, аналогичный Вашему (с союзом но в начале предложения и следующим за ним сложным союзом прежде чем): Но прежде чем этот кусок успевал упасть на землю, рабочий с необыкновенной ловкостью обматывал его цепью в руку толщиной (Купр.).

Ударение в слове гиппогриф падает на последний слог: гиппогри́ф.

См.: 

[В. А. Комаровский. «Гляжу в окно вагона-ресторана...» [Итальянские впечатления, 4] (1913)];

[Б. А. Нарциссов. Гиппогриф : «За Ливийской, в каменьях, живет гиппогриф...» (1958)]

[Б. А. Нарциссов. Гиппогриф : «За Ливийской, в каменьях, живет гиппогриф...» (1958)].

Это слова имеют разные значения, они не синонимичны.

ПРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. кого-что. Разг. Заранее предназначать, предположительно определять. Ей прочат блестящее будущее. Брата с детства прочили в военные. На его место прочат новенького. Её прочат замуж за метрдотеля. Прочиться, -чится; страд.

ПРОРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. (св. напророчить). что. Предсказывать, предвещать. Тебе пророчат большое будущее. Говорят, звёздный дождь пророчит счастье.

Этимология у них также различна. Пророчить образовано от пророк (это калька с греческого προφήτης «прорицатель», буквально «говорящий будущее»), а прочить — исконно славянское, сууффиксальное производное от прок «остаток». 

Корень этого слова зар – зор относится к так называемым чередующимся. Выбор безударной гласной при его написании подчиняется следующему правилу: На месте безударного гласного пишется а: заря́, зарни́ца, зарево́й, озари́ть, озаря́ться, озаре́ние, заря́нка (птица), заряни́ца; под ударением – а  и о, ср.: за́рево, лучеза́рный, светоза́рный и зо́ри (мн. ч. слова заря́), зо́рька, зо́ренька, зо́рюшка, зо́ря (военный сигнал, обычно в выражении бить или играть зо́рю).

Глагол *зорева́ть в написании через о ранее считали исключением, но в 1999 году это исключение было устранено. 

Наталья, Вы совершенно напрасно «допекали» «Вечернюю Москву». Ошибок в СМИ, к сожалению, немало, но в данном случае ошибки нет, сочетание ждем ваших писем (звонков, историй) корректно.

В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» указано: Ждать – 1. чего (при сочетании с отвлеченным существительным или конкретным, но употребленным с оттенком неопределенности). Ждать возможности. Ждать писем. Ждать поезда (какого-либо). Я ждал только случая, чтобы показать ему, что нисколько не дорожу его обществом (Лев Толстой). 2. кого-что (при сочетании с одушевленным существительным или неодушевленным, но употребленным с оттенком определенности). Ждать сестру. Я жду одну женщину. Ждать ежедневную почту. Ждать поезд Симферополь – Москва.