Учительница неправа. Правильно: на день рождения. Вообще говоря, этому сочетанию не везет, его всячески искажают: пишут с буквой е на конце, пишут слитно, употребляют как слово среднего рода (*деньрождение, с деньрождением, мое деньрождение). Всё это грубейшие ошибки. На самом деле это обычное словосочетание, такое же, как, например, День города. Главное слово – день, зависимое – рождения (день чего? рождения, родительный падеж). Правильно: день рождения, на день рождения, с днем рождения, мой день рождения.

Да, вводные сочетания по словам (кого-либо, чего-либо, чьим-либо), по подсчетам (кого-либо, чего-либо, чьим-либо) обособляются. Указанные запятые нужны.

Пунктуация зависит от того, есть ли в последней части повторяющийся союз и... и или мы имеем дело с двумя союзами и (первый соединяет части сложного предложения, второй – однородные члены затворница и комната).

Точно ответить на этот вопрос поможет проверка текста по печатному изданию, но мы предполагаем, что, скорее всего, речь идет о двух разных союзах, так что запятая перед и эта комната не требуется.

Форма слова задачи в этих случаях не зависит от числительного. Она зависит от того, идет речь о примерах одной задачи или нескольких.

Нейтральный вариант: страдание – страдания, желание – желания. Разговорный и поэтический вариант: страданье –  страданья, желанье – желанья.

Вариантные формы на -ие и на -ье есть у большого количества слов, ср.: проклятие – проклятье, спасение – спасенье, возвращение – возвращенье, признание – признанье, молчание – молчанье и т. п. При этом формы на -ие обычно являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а формы на -ье характерны для разговорной и поэтической речи (хотя может быть наоборот, ср. счастье – общеупотребительный вариант, счастие – устаревший, встречающийся в поэтических текстах).

Конечно же, нельзя упрощать язык – например, признавать именами прилагательными только такие слова, которые изменяются по адъективному склонению (бежевый, бордовый). Нет, к разряду имен прилагательных относятся и неизменяемые слова беж, бордо  и многие-многие другие (ажур, аллегри, ампир, апаш, аплике, банту, барокко и т. д.) Это несклоняемые прилагательные с нулевыми флексиями, достаточно подробно они описаны в академической «Русской грамматике» 1980 года.

Вадим, склоняемость / несклоняемость не есть основной признак для классификации частей речи. Главный признак слов, объединяемых в одну часть речи, – наличие обобщенного значения, абстрагированного от лексических и морфологических значений всех слов данного класса. У имен прилагательных такое значение – выражение непроцессуального признака предмета: апельсины цвета (какого?) беж, юбка (какая?) мини и т. п.  Да, большинство прилагательных выражают это значение в словоизменительных морфологических категориях рода, числа и падежа – но далеко не все.

В этом случае нет оснований игнорировать указанный Вами пункт правил, тем более что в качестве примера в нем приводится, среди прочих, название «двойной должности» директор – художественный руководитель (в сочетании обратиться к директору – художественному руководителю). Структура названия должности в Вашем случае аналогична структуре названия из этого примера. 

Ваш вопрос о различиях между тире и дефисом в конструкциях человек-оркестр и человек – природа? Это разные конструкции, поэтому и разные знаки.

Сочетания с приложением пишутся через дефис: Он настоящий человек-оркестр (приложение – это определение, выраженное существительным: человек какой?). Тире ставится между существительными, сочетание которых выполняет определительную функцию при другом имени существительном, напр.: система (какая?) человек – машина, взаимоотношения (какие?) человек – природа.

В ответе на вопрос № 270270 пример был включен в комментирующее его повествовательное предложение. В нем точка необходима как знак конца этого предложения, а не примера.

Знаки препинания корректно расставить следующим образом: Он меня спросил: «Ты читал роман "Что делать?"».

Такая подача примеров принята в справочниках по пунктуации. Вероятно, от этого приема нужно отказываться. 

В ответе на вопрос № 270270 подача примера скорректирована.