Если это название определенного учреждения (например, Государственная жилищная инспекция города Москвы), то первое слово пишется с большой буквы.
Правильно с заглавной буквы.
Правилами допускается употребление прописной буквы в первом (или единственном) слове усеченного названия, если оно употребляется вместо полного.
Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.
Для ответа нужен более широкий контекст. Ср.: Мы встретимся на международной конференции и В Новосибирске прошла Международная конференция молодых филологов. Во втором предложении слово международный является первым в официальном названии конференции.
С прописной буквы в наименовании закона.
