Фамилия пишется так, как записано в паспорте ее носителя. Орфографически в фамилиях возможно и -цин, и -цын. Ср.: Вицин, но: Солженицын.

1. Правильно: Вам не справиться без знаний, опыта, терпения, готовности и тому подобного; Есть множество разных четырёхугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и прочие.

2. Правильно: в третьем часу утра́. 

3. Это может быть часть или подглава. Чередование цифр (римских, арабских), а также букв (литер) применяется при многоступенчатой рубрикации, необходимой для четкого разграничения заголовков разных ступеней. 

Слово кочерга во множественном числе имеет формы: им.-вин. п. кочерги́, род. п. кочерёг, дат. п. кочерга́м, тв. п. кочерга́ми, п. п. кочерга́х. 

Да, это этимологически родственные слова. Барин, барыня, барышня возникло из боярин, боярыня, боярышня – вероятно, сначала в обращении. Известны и другие случаи сокращения слов, часто употребляемых в обращении, ср. сударь из государь.

Это слова с разными значениями.

Большой толковый словарь

Филологические словари фиксируют только прилагательные экзистенциальный и экзистенциалистский.

Большой толковый словарь

Глагол бдить словарями литературного языка не фиксируется. В речи он появился, вероятно, под воздействием прилагательного бдительный, которое произошло от форм глагола бдеть – бдит, бдишь. Этимологически мотивировано написание бдеть, древняя форма этого глагола писалась с буквой ять: бъдѣти. 

См. значение глагола заземлить:

Большой толковый словарь русского языка

ЗАЗЕМЛИТЬ, -лю, -лишь; заземлённый; -лён, -лена, -лено; св. что. Произвести электрическое соединение машин, приборов, проводов и т. п. с землёй. З. антенну. Заземлять, -яю, -яешь; нсв. Заземляться, -яется; страд.

В современном русском языке правильно только татары.

У всех этих родственных (однокоренных) слов корень лин-. Этот корень выделяется при морфемном разборе (разборе по составу), см., например, «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой. В младшей школе анализ структуры слова ограничивается выделением узнаваемых морфем (минимальных значимых частей слова). Но поскольку большинство орфографических правил в русском языке основаны на морфологическом (морфемном) принципе, разбор слова по составу остается важным на всех этапах обучения.

В средней школе представление о типах анализа структуры слова расширяется прежде всего за счет словообразовательного анализа. Задачей словообразовательного анализа является установление отношений производности между словами в современном русском языке. Словообразовательное членение основывается на наличии/отсутствии живых смысловых связей между словами. Поэтому словообразовательные границы, указанные в словообразовательных словарях, могут отличаться от морфемных. В младшей школе не рекомендуется пользоваться словообразовательными словарями для средней школы, в которых представлено членение, соответствующее современным концепциям синхронического словообразовательного анализа. При таком подходе слово лини[j-а] рассматривается как непроизводное (корень лини[j]-), от которого образованы: лин-ова-ть (усечение производящей основы лини[j]-), линей-к-а (звуковое преобразование производящей основы лини[j]-) и другие слова, относящиеся к словообразовательному гнезду, которое возглавляет слово линия (подробнее см. «Словообразовательный словарь русского языка» А. Н. Тихонова).

В младшей школе словообразовательный анализ может быть введен в качестве дополнительного материала. В этом случае рекомендуется использовать слова, в которых словообразовательные и морфемные границы совпадают, а производящая основа не подвергается модификации. Такой материал содержат словообразовательные словари для младших школьников. Слова, родственные слову линия, в них не включаются в связи со сложностью словообразовательного анализа.

В заключение необходимо отметить, что при морфемном анализе тоже может происходить изменение облика морфем за счет чередований, которые начинают изучать уже в младшей школе (ср.: рук-а / руч-к-а, снег-Ø / снеж-н-ый и т. п.). Поэтому к определению корня как общей части родственных слов следует относиться как к сильно упрощенному, но доступному учащимся младшей школы.