Всё очень просто: предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с – предлогу на. Мы говорим: в город, поэтому: из города. Вариант с города просторечный.

Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с – предлогу на. С названиями горных областей употребляется предлог на: на Алтай, на Кавказ, на Урал, поэтому: с Алтая, с Кавказа, с Урала.

В течение – предлог (то же, что 'во время, в ходе'), например: в течение жизни. В течении – сочетание предлога в и существительного течение, например: в течении реки.

Это форма винительного падежа. Известно, что у одушевленных существительных во множественном числе винительный падеж совпадает с родительным. Рассматриваемые конструкции – единственное в русском языке отступление от последовательного выражения одушевленности: у слов – названий лиц в составе фразеологизированных конструкций типа идти в солдаты, взять (кого-либо) в курьеры, пойти в няньки, годиться в отцы винительный падеж совпадает с именительным.

Предпочтительно: со встроенным. Предлог со используется вместо предлога с в тех случаях, когда произнесение предлога без гласной фонетически затруднено (например, при стечении согласных в начале слова).

В справочниках по правописанию традиционно говорилось о различном пунктуационном оформлении оборотов с предлогом кроме в зависимости от того, имеет ли он значение исключения или включения (раньше обороты с предлогом кроме со значением включения знаками препинания не выделялись). Авторы процитированного Вами справочника, видимо, обнаружили подобную тенденцию и у оборотов с предлогом помимо (близком по значению к кроме).

Однако в настоящее время, как указывает полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006), различия в значениях оборотов со словом кроме не сказываются на пунктуации: и в том и в другом случае предусмотрено выделение запятыми. По этой причине сейчас нет смысла рекомендовать отражать на письме и различия в значениях оборотов с предлогом помимо (включение или исключение). Но важно разграничить употребление помимо в этих значениях и в значении 'не принимая во внимание что-либо, вопреки чему-либо', что и сделано в нашем справочнике.

Правильно: Интернет в дом, офис, на склад. Пропуск предлога недопустим, т. к. перед последним словом нужен другой предлог (не предлог в).

Употребление слова высота по отношению к людям некорректно. Высота может быть у зданий, деревьев, мебели, гор, волн и т. п. У людей – рост: рост отца, мой рост, рост человека.  

Предложение нужно перестроить. Возможен такой вариант: Отец выше сына на 20 см. 

Корректно без предлога: дерево высотой 5 метров, дорога длиной 3 километра.

Слитно пишется предлог ввиду: не пришел ввиду (= по причине) болезни. Раздельно пишется сочетание предлога в и формы предложного падежа существительного вид: иметь в виду, бросить якорь в виду берега.