Сюжет - строчными буквами: исцеление расслабленного у овечьей купели. Название картины или другого произведения - с прописной буквы.
Да, прописная буква и кавычки при таком употреблении сохраняются.
Точка в любом случае ставится после закрывающих кавычек.
Если речь идет о поезде, для написания с большой буквы в кавычках нет оснований: купите билеты на аэроэкспресс (ср.: купите билеты на трамвай). Но: «Аэроэкспресс» (как название компании): купите билеты на поезд компании «Аэроэкспресс».
Название можно написать латиницей (без кавычек) и кириллицей (в кавычках).
Нет оснований для написания в кавычках с большой буквы. Правильно: шницель по-министерски (ср.: макароны по-флотски).
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Написание сыр дорблю будет корректным в большинстве случаев.
Можно написать "тиви" (в кавычках).