Оба выражения могут употребляться в зависимости от контекста.
Корректно: обещана в дар.
Не с существительными пишется слитно, если нет противопоставления (при противопоставлении раздельно: не указание в документе, а...).
Правильно: в городе Кемерово.
Строгой литературной норме соответствует первый вариант. Подробнее о названиях на -ово, -ево, -ино, -ыно см. в рубрике «Азбучные истины».
Во многих словарях и нормативных руководствах сочетания в мозге и в мозгу трактуются как равноправные варианты. В то же время в «Большом универсальном словаре русского языка» под ред. В. В. Морковкина определяется, что форма предложного падежа слова мозг в значении 'центральный отдел нервной системы' образуется при помощи окончания -е. Такая же рекомендация содержится в справочнике Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов» (М., 2001. С. 194, 196). Поэтому предпочтительным можно считать: в спинном мозге.
Указанная запятая нужна.
Корректно: в городе Самаре, в городе Москве.
Верно: сотрудника Пичуковой, сотрудников Пичуковой, Ивановой...
