Сочетание некорректно. Протест можно подать, выразить, заявить; а наложить можно запрет или вето.
Можно попробовать выяснить это при помощи Национального корпуса русского языка: http://ruscorpora.ru/
Все это можно выяснить при помощи электронных словарей в рубрике "Проверка слова" на нашем портале.
К сожалению, нам не удалось выяснить, какое из этих сочетаний выступает в качестве терминологического в спортивной гимнастике.
1. Тире не требуется.
2. Думаем, целесообразно вначале выяснить смысл фразы, а затем высказать его своими словами.
Оказать поддержку – поддержать делом, практически. Выразить поддержку – поддержать на словах, заявить о готовности оказать поддержку.
Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Если слово «ласкаться» употребляется в значении «проявлять ласковое отношение, нежность; стараться вызвать лаской ответную ласку», то предложение корректно.
