См. в «Письмовнике».
Запятая нужна.
По данным Орфографического академического ресурса «Академос» все перечисленные сочетания следует писать со строчной буквы: декартова система координат, декартово произведение, декартов лист.
Этот вопрос не регламентируется правилами правописания. Его лучше задать классному руководителю, т. к. требования к ведению дневника в разных образовательных организациях могут быть разными.
Правильно: обучающегося в пятом классе (но ср.: учащегося пятого класса).
Возможен вариант с двоеточием.
Корректно: гостила незвано (от прилагательного незваный).
При официальном титуловании иерарха прописные буквы в сочетании Патриарх Константинопольский нужны. Правильно: разделение церквей на католическую и православную.
