Отправная точка Вашего рассуждения — утверждение, будто словосочетание сердце погоста является неделимым. Но здесь неизбежно возникает вопрос: на каком основании делается это утверждение? Кижский погост, как и Преображенская церковь, — цельные собственные наименования, они действительно являются синтаксически неделимыми словосочетаниями. Сердце погоста таким наименованием не является. А если бы было сказано Центром Кижского погоста...; Жемчужиной Кижского погоста... — Вы тоже сочли бы словосочетания центр погоста, жемчужина погоста неделимыми? Для этого нет никаких оснований. Тот факт, что существительное сердце употреблено в переносном значении, отнюдь не является основанием для того, чтобы считать словосочетание неделимым.

Таким образом, Ваша претензия к сборнику безосновательна, относительно сказуемого в данном предложении в нем всё сказано верно.

В таких конструкциях пишется частица НИ: Чему бы грабли ни учили, а сердце верит в чудеса.

Это сложное предложение. Перед союзом и нужно поставить либо запятую (по общему правилу), либо тире (как знак, выражающий значение результата, следствия). 

Следует использовать слово что. Одна из его функций в русском языке – употребление в значении «который». Что в этом значении связывает с главным предложением придаточное, определяющее какое-либо существительное (в том числе одушевленное!) главного предложения.

Верно написание со строчной: Было принято решение созвать церковный собор. Слово собор в значении 'собрание высшего христианского духовенства' всегда пишется со строчной буквы, словосочетание церковный собор не является названием уникального мероприятия и тоже пишется со строчной буквы.

Корректно: сердце бьется вновь, а думал: нет его...

Между одиночным определением и следующим за ним причастным оборотом требуется одиночная запятая: Этот человек зажигает особыми чувствами и мое, привыкшее к Родине сердце. Сравним примеры из параграфа 38 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: Даже старые, серыми лишаями покрытые ветви деревьев зашептали о прошлых днях (М. Г.); Стоячий, заблудившийся в воздухе запах цветов пригвожден был зноем неподвижно к клумбам (Б. Паст.) и др.