Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Ответ на вопрос № 222920 связан с написанием одного или двух Н в слове тушеная/тушенная, вопросов произношения он не касался. Корректно: тушённый/тушёный (от туши́ть в знач. «варить на медленном огне»), например: тушённая в сковоро́дке говя́дина, тушёная говядина. По поводу употребления буквы Ё рекомендуем прочитать статью «Буква Ё: нужно ли расставить над ней все точки?», размещенную на нашем портале.